Einer der folgenden Graphen gehört zu der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x + 3}{e^{x}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.
Geben Sie an, welcher der Graphen I, II oder III den Graphen \(G_{f}\) zeigt und begründen Sie jeweils, warum die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen.
\[f(x) = \frac{x + 3}{e^{x}}\]
Graph III zeigt den Graphen der Funktion \(f\)
Begründung:
Anhand des Funktionsterms \(f(x)\) lässt sich der Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse sowie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) schnell ermitteln und mit den Graphen I,II und III vergleichen.
Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse:
Der Graph der Funktion \(f\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|f(0))\). Es ist also der Funktionswert \(f(0)\) zu berechnen.
\[f(x) = \frac{x + 3}{e^{x}}\]
\[f(0) = \frac{0 + 3}{e^{0}} = \frac{3}{1} = 3\]
\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|3)\).
Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\):
\[f(x) = \frac{x + 3}{e^{x}}\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\overbrace{x + 3}^{\to\,-\infty}}{\underbrace{e^{x}}_{\to\,0}} = -\infty\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{x + 3}{e^{x}} = 0\]
Wichtiger Grenzwert
\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \frac{x^r}{e^x} = 0 \enspace (r > 0)\]
Für \(\,x \to +\infty\,\) wächst \(e^x\) „schneller" als jede Potenz \(x^r \enspace (r > 0)\).
(vgl. Merkhilfe)
Für \(x \to +\infty\) wächst der Nennerterm \(e^{x}\) „schneller" als der Zählerterm x + 3.
Alternative: Regel von L'Hospital anwenden:
Regel von L'Hospital
Führt der Grenzwert \(\,\displaystyle \lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f(x)}{g(x)}\,\) auf den unbestimmten Ausdruck \(\displaystyle \,\frac{0}{0}\,\) oder \(\displaystyle \,\frac{\infty}{\infty}\,\),
und existiert der Grenzwert \(\displaystyle \,\lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\,\), so gilt:
\[\lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
Die Regel kann anstelle \(\,x \to x_0\,\) auch für \(\,x \to \infty\,\) oder \(\,x \to -\infty\,\) angewendet werden.
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{x + 3}{e^{x}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{(x + 3)'}{\left(e^{x}\right)'} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{1}{\underbrace{e^{x}}_{\to\,+\infty}} \\[0.8em] &= 0\end{align*}\]
Anmerkung:
Die Regel von L'Hospital ist nicht im G8 Mathematik Lehrplan enthalten. Erfahrungsgemäß wird diese aber des Öfteren optional unterrichtet, um Grenzwertbetrachtungen von unbestimmten Ausdrücken der Form \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\) zu vertiefen.
Schlussfolgerungen:
Graph I zeigt nicht den Graphen \(G_{f}\), da Graph I
- die \(y\)-Achse im Punkt \((0|-3)\) schneidet,
- für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) verläuft sowie
- für \(x \to +\infty\) gegen \(-\infty\) verläuft.
Graph II zeigt nicht den Graphen \(G_{f}\), da Graph II die \(y\)-Achse im Punkt \((0|1)\) schneidet.
