Berechnen Sie jeweils die Menge aller Stammfunktionen folgender Funktionen:
a) \(f(x) = 2\sqrt{3 - 2x}\)
b) \(g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)}; \; x \in \mathbb R^{+}\)
c) \(h(x) = \dfrac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4}\)
a) Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(f\)
\[f(x) = 2\sqrt{3 - 2x}\]
Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(x) dx\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(f\) (vgl. Abiturskript - 1.6.2 Unbestimmtes Integral).
Zunächst wird die Wurzelfunktion \(f\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}\) in der Potenzschreibweise formuliert.
Anschließend lassen sich die beiden wichtigen unbestimmte Integrale
\(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C\; (r \neq -1)\) und
\(\displaystyle \int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\) (wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist),
anwenden.
\[f(x) = 2\sqrt{3 - 2x} = 2 \cdot (3 - 2x)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (-2x + 3)^{\frac{1}{2}}\]
Wichtige unbestimmte Integrale:
\[\int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)\]
\[\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\]
Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
\[C \in \mathbb R\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \int f(x) dx &= \int 2 \cdot \underbrace{(-2x + 3)^{\frac{1}{2}}}_{\Large{f(ax\,+\,b)}} dx \\[0.8em] &= 2 \cdot \underbrace{\frac{1}{-2}}_{\Large{\frac{1}{a}}} \cdot \underbrace{\frac{(-2x + 3)^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}_{\Large{F(ax\,+\,b)}} + C \\[0.8em] &= -\frac{(-2x + 3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \\[0.8em] &= -\frac{2}{3}(-2x + 3)^{\frac{3}{2}} + C &&| \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \\[0.8em] &= -\frac{2}{3}\sqrt{(-2x + 3)^{3}} + C \\[0.8em] &= -\frac{2}{3}\sqrt{(-2x + 3)(-2x + 3)^{2}} + C \\[0.8em] &= -\frac{2}{3}\sqrt{-2x + 3}(-2x + 3) + C \end{align*}\]
b) Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(g\)
\[g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)}; \; x \in \mathbb R^{+}\]
Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int g(x) dx\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(g\) (vgl. Abiturskript - 1.6.2 Unbestimmtes Integral).
Nach einer Umformung mithilfe der Rechenregel für Logarithmen \(\log_{a}(b^{n}) = n \cdot \log_{a}{b}\) kann das wichtige unbestimmte Integral \(\displaystyle \int ln{x} dx = -x + x\ln{x} + C\) angewendet werden.
\[g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)} = 2\ln{x}\]
Wichtiges unbestimmtes Integral:
\[\int \ln x\,dx = -x + x \ln x + C; \quad C \in \mathbb R\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \int g(x) dx &= \int 2\ln{x}\,dx \\[0.8em] &= 2 \cdot (-x + x\ln{x}) + C \\[0.8em] &= -2x + 2x\ln{x} + C &&| n \log_{a}{b} = \log_{a}{b^{n}} \\[0.8em] &= -2x + x\ln{\left( x^{2} \right)} + C \\[0.8em] &=x\left[ \ln{\left( x^{2} \right)} - 2 \right] + C \end{align*}\]
c) Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(h\)
\[h(x) = \dfrac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4}\]
Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int h(x) dx\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(h\) (vgl. Abiturskript - 1.6.2 Unbestimmtes Integral).
Für das Integrieren einer Produktfunktion in Verbindung mit der natürlichen Exponentialfunktion verweist die Merkhilfe auf das wichtige unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\). Um dieses anwenden zu können, wird der Funktionsterm \(h(x)\) zunächst entsprechend umgeformt.
\[h(x) = \frac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4} = \underbrace{\frac{1}{12} \cdot \underbrace{6x}_{\large{f'(x)}}}_{\Large{\frac{x}{2}}} \cdot e^{\overbrace{3x^{2} + 4}^{\Large{f(x)}}}\]
Wichtiges unbestimmtes Integral:
\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)}dx = e^{f(x)} + C\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \int h(x) dx &= \int \frac{1}{12} \cdot 6x \cdot e^{3x^{2} + 4} dx \\[0.8em] &= \frac{1}{12}e^{3x^{2} + 4} + C \end{align*}\]
Anmerkung:
Bei Klausur- oder Abituraufgaben, welche das Integrieren einer Produkt- bzw. Quotientenfunktion erfordern, ist davon auszugehen, dass sich die Integrandenfunktion entweder
- durch elementare Umformung vereinfachen lässt oder
- eines der beiden wichtigen unbestimmten Integrale \(\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\) bzw. \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\) anzuwenden ist (ggf. nach vorheriger Umformung).
Andernfalls ist die Integration einer Produkt- bzw. Quotientenfunktion nur mit nicht abiturrelevanten Integrationsmethoden möglich.