Für \(a \in \mathbb R^{+}\) ist die Gerade \(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) gegeben.

Bestimmen Sie den Wert von \(a\), sodass die Gerade \(g_{a}\) die Würfelfläche \(CDHG\) in ihrem Mittelpunkt schneidet.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

\[g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}; \;\lambda \in \mathbb R, \; a \in \mathbb R^{+}\]

\(G(5|5|5)\), \(D(0|5|0)\) (vgl. Abbildung Geometrie 2)

Ortsvektor des Mittelpunkts der Würfelfläche \(CDHG\) berechnen:

Beispielsweise wird der Ortsvektor des Mittelpunkts \(\textcolor{#cc071e}{M_{[GD]}}\) der Diagonale \(\textcolor{#cc071e}{[GD]}\) berechnet.

\[\begin{align*} \overrightarrow{M_{[GD]}} &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{G} + \overrightarrow{D}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 5 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

Ortsvektor \(\overrightarrow{M_{[GD]}}\) in die Gleichung der Gerade \(g_{a}\) einsetzen:

\[M_{[GD]} \in g_{a} \colon \begin{pmatrix} \textcolor{#cc071e}{2{,}5} \\ \textcolor{#0087c1}{5} \\ \textcolor{#e9b509}{2{,}5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{#cc071e}{2{,}5} \\ \textcolor{#0087c1}{0} \\ \textcolor{#e9b509}{3{,}5} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} \textcolor{#cc071e}{0} \\ \textcolor{#0087c1}{-10a} \\ \textcolor{#e9b509}{\frac{2}{a}} \end{pmatrix}\]

Zeilenweise gelesen ergibt die Vektorgleichung ein lineares Gleichungssystem, mit dem sich der Wert des Parameters \(a\) bestimmen lässt.

\[\begin{align*} \text{I} & & & \textcolor{#cc071e}{2{,}5 = 2{,}5} \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \enspace \; \textcolor{#0087c1}{5 = \lambda \cdot (-10a)} \quad \; \Longleftrightarrow \quad \lambda = -\frac{1}{2a} \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace  & \textcolor{#e9b509}{2{,}5 = 3{,}5 + \lambda \cdot \frac{2}{a}} \quad \Longleftrightarrow \quad  -1 = \lambda \cdot \frac{2}{a} \end{align*}\]

\[\begin{align*} \lambda = -\frac{1}{2a} \; \text{in III}: \; -1 &= -\frac{1}{\cancel{2}a} \cdot \frac{\cancel{2}}{a} \\[0.8em] -1 &= -\frac{1}{a^{2}} &&| \cdot (-a^{2}) \\[0.8em] a^{2} &= 1 &&| \; \sqrt{\quad} \enspace a \in \mathbb R^{+} \\[0.8em] a &= 1 \end{align*}\]

Für \(a = 1\) schneidet die Gerade \(g_{1}\) die Würfelfläche \(CDHG\) in deren Mittelpunkt.