Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto (3x - 2)(x + 1) - \dfrac{1}{x}\) und vereinfachen Sie den Term.
\[f(x) = (3x - 2)(x + 1) - \frac{1}{x}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
1. Möglichkeit: Produkt- und Quotientenregel anwenden
Der Funktionsterm \(f(x)\) lässt unter Anwendung der Produktregel, der Quotientenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion, sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten.
\[f(x) = (3x - 2)(x + 1) - \frac{1}{x}\]
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
Produktregel anwenden:
\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
\[u(x) = 3x-2; \; u'(x) = 3 - 0 = 3\]
\[v(x) = x + 1; \, v'(x) = 1 - 0 = 1\]
Quotientenregel anwenden:
\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]
\[u(x) = 1; \; u'(x) = 0\]
\[v(x) = x; \; v'(x) = 1\]
\[\begin{align*} f'(x) &= 3 \cdot (x + 1) + (3x - 2) \cdot 1 - \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}} \\[0.8em] &= 3x + 3 + 3x - 2 + \frac{1}{x^{2}} \\[0.8em] &= 6x + 1 + \frac{1}{x^{2}} \end{align*}\]
2. Möglichkeit: ohne Produkt- und Quotientenregel
Als Alternative multipliziert man das Produkt \((3x - 2)(x + 1)\) aus und formuliert den Term \(\dfrac{1}{x}\) mithilfe des Potehzgesetzes \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}; \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) in der Potenzschreibweise. Anschließend kann \(f(x)\) ohne die Produkt- und Quotientenregel abgeleitet werden.
\[\begin{align*} f(x) &= (3x - 2)(x + 1) - \frac{1}{x} \\[0.8em] &= 3x^{2} + 3x -2x - \frac{1}{x} \\[0.8em] &= 3x^{2} + x - \frac{1}{x} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 3x^{2} + x - x^{-1} \end{align*}\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} f'(x) &= 3 \cdot 2 \cdot x + 1 - (-1) \cdot x^{-2} \\[0.8em] &= 6x + 1 + x^{-2} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 6x + 1 + \frac{1}{x^{2}} \end{align*}\]