Bestimmen Sie einen Näherungswert \(x_1\) für die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(d \colon x \mapsto g(x) - h(x)\) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_0 = 1\) durchführen.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
\[\begin{align*}g(x) &= e^{-x} & & D = \mathbb R \\ h(x) &= x^3 & & D = \mathbb R \end{align*}\]
Anmerkung: Zur Berechnung der Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen werden die Funktionsterme gleichgesetzt \((g(x) = h(x))\) und anschließend die Gleichung nach der Variablen \(x\) aufgelöst. Alternativ bestimmt man die Nullstellen der Differenzfunktion \(g(x) - h(x)\).
\[g(x) = h(x) \quad \Longleftrightarrow \quad g(x) - h(x) = 0\]
\[\begin{align*}d(x) &= g(x) - h(x) \\[0.8em] &= e^{-x} - x^3 \end{align*}\]
\[d(x) = 0\]
Newton-Verfahren
\(x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) mit \(n \in \mathbb N\) und \(f'(x_n) \neq 0\)
(vgl. Merkhilfe)
\[x_1 = x_0 - \frac{d(x_0)}{d'(x_0)}\,; \quad x_0 =1\]
Erste Ableitung \(d'(x)\) bilden:
Ableitung einer Potenzfunktion
\[ f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
Kettenregel
\[ f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}d'(x) &= e^{-x} \cdot (-1) - 3x^2 \\[0.8em] &= -e^{-x} - 3x^2 \end{align*}\]
Newton-Verfahren anwenden:
\[\begin{align*}x_1 &= x_0 - \frac{d(x_0)}{d'(x_0)} \\[0.8em] &= 1 - \frac{e^{-1} - 1^3}{-e^{-1} - 3 \cdot 1^2} \\[0.8em] &= 1 - \frac{e^{-1} - 1}{-e^{-1} - 3} \\[0.8em] &\approx 0{,}8123 \end{align*}\]
