Ermitteln Sie, wie viele Spiele durchgeführt werden müssen, damit der Erwartungswert der Einnahme für die beiden Aktionen 300 € beträgt.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Zu erwartende Einnahme pro Spiel in Euro:
\[3 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{4} + (-3) \cdot \frac{1}{12} = \frac{5}{6}\]
Anzahl der Spiele:
\[\frac{300\,\text{€}}{\frac{5}{6}\;\frac{\text{€}}{\text{Spiel}}} = 360\,\text{Spiele}\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche der Anzahl \(k\), wie oft die Ziffer 2 auf den erzielten Sektoren insgesamt vorkommt, die Einnahme in Euro zuordnet.
„Für einen Einsatz von 3 € darf man jedes der beiden Glücksräder einmal drehen. Für jede Ziffer 2, die auf den erzielten Sektoren steht, werden 2 € ausbezahlt." (vgl. Angabe)
Es gilt: Einnahme = Einsatz - Auszahlung
Unter Berücksichtigung der Ergebnisse \(p_1 = \dfrac{1}{3}\) und \(p_2 = \dfrac{1}{4}\) aus Teilaufgabe 2a ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):
| \(k\) | \(\textcolor{#e9b509}{0}\) | \(\textcolor{#e9b509}{1}\) | \(\textcolor{#e9b509}{2}\) | \(\textcolor{#e9b509}{3}\) |
| \(X = x_i\) | \(\textcolor{#0087c1}{3} - \textcolor{#e9b509}{0} \cdot \textcolor{#cc071e}{2} = 3\) | \(\textcolor{#0087c1}{3} - \textcolor{#e9b509}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{2} = 1\) | \(\textcolor{#0087c1}{3} - \textcolor{#e9b509}{2} \cdot \textcolor{#cc071e}{2} = -1\) | \(\textcolor{#0087c1}{3} - \textcolor{#e9b509}{3} \cdot \textcolor{#cc071e}{2} = -3\) |
| \(P(X = x_i)\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{1}{12}\) |
Erwartungswert \(E(X)\) berechnen (Zu erwartende Einahme pro Spiel):
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*} E(X) &= 3 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{4} + (-3) \cdot \frac{1}{12} \\[0.8em] &= 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{3}{12} \\[0.8em] &= \frac{12}{12} + \frac{4}{12} -\frac{3}{12} - \frac{3}{12} \\[0.8em] &= \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\end{align*}\]
Die zu erwartende Einnahme pro Spiel beträgt \(\dfrac{5}{6}\,\text{€}\).
Anzahl der Spiele berechnen, sodass die zu erwartende Einnahme 300 € beträgt:
\[\frac{300\,\text{€}}{\frac{5}{6}\;\frac{\text{€}}{\text{Spiel}}} = 360\,\text{Spiele}\]
