Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden \(h_a \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(\mu \in \mathbb R\) und \(a \in \mathbb R\). Weisen Sie nach, dass \(g\) und \(h_a\) für jeden Wert von \(a\) windschief sind.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Zunächst ist zu zeigen, dass die Richtungsvektoren der Geradengleichungen kein Vielfaches voneinander sind und damit nicht zueinander parallel oder antiparallel sind.
(Vgl. 
Untersuchung der Lagebeziehung zweier Geraden)
Gleichung einer Gerad / Strecke in Parameterform
Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform
\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.
Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).
Gleichung einer Strecke \([AB]\) in Parameterform:
\[\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \textcolor{#cc071e}{\lambda \in [0;1]} \]
\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}}, \;\lambda \in \mathbb R\]
\[h_a \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}}, \;\mu \in \mathbb R, \; a \in \mathbb R\]
\[\textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}} = k \cdot \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}}, \; k \in \mathbb R \enspace \Rightarrow \; \begin{cases} \begin{align*}1 &= k \\ 0 &= k \cdot a \\ -1 &= 0 \end{align*} \end{cases} \quad \textcolor{#cc071e}{\huge{\unicode{x21af}}}\]
Es ist offensichtlich, dass es keinen Wert \(k \in \mathbb R\) gibt, der die Vektorgleichung erfüllt.
Somit können die Gerade \(g\) und die Schar der Geraden \(h_a\) sich schneiden oder windschief sein.
\(g\) und \(h_a\) sind für jeden Wert von \(a\) windschief, wenn der Ansatz \(\boldsymbol{\overrightarrow{X}_g = \overrightarrow{X}_{h_a}}\) für die Bestimmung gemeinsamer Punkte keine eindeutige Lösung hat.
\[\begin{align*} \overrightarrow{X}_g &= \overrightarrow{X}_{h_a} \\[0.8em] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}\end{align*}\]
Koordinatenweise gelesen ergibt die Vektorgleichung folgendes Gleichungssystem:
\begin{align*} \text{I} & & & \lambda = \mu \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & 1 = \mu \cdot a \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace & 1 - \lambda = 1\; \Rightarrow \; \lambda = 0 \end{align*}
Gleichung \(\text{III}\) liefert \(\lambda = 0\).
Mit Gleichung \(\text{I}\) folgt \(\mu = 0\).
\(\mu = 0\) in Gleichung \(\text{II}\) eigesetzt, ergibt für jeden Wert \(a \in \mathbb R\) die falsche Aussage \(1 = 0\).
Folglich ist das Gleichungssystem nicht lösbar, weshalb \(\boldsymbol{g}\) und \(\boldsymbol{h_a}\) für jeden Wert von \(\boldsymbol{a}\) windschief sind.
