Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt werden muss, damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für die Ausstattung des Spielbereichs erwartet werden kann.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
1. Lösungsansatz: Betrachtung des Auszahlungsbetrags
Es sei \(A\) die Zufallsgröße, welche jedem Ergebnis des Spiels eine Auszahlung in Euro zuordnet.
| \(\displaystyle A = a_i\) | \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle 0\) |
| \(\displaystyle P(A = a_i)\) | \(\displaystyle \frac{1}{28}\) | \(\displaystyle \frac{27}{28}\) |
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(A\)
Gewinnt der Spieler, erhält er eine Auszahlung von \(x\) Euro. Verliert der Spieler, erhält er keine Auszahlung.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist aus Teilaufgabe 1a bekannt.
\[P(\text{Gewinn}) = \frac{1}{28}\]
\[\Longrightarrow \quad P(A = x) = \frac{1}{28}\]
Da die Zufallsgröße \(A\) nur die beiden Werte \(a_1 = x\) und \(a_2 = 0\) annimmt, gilt:
\[P(A = 0) = 1 - P(A = x) = 1 - \frac{1}{28} = \frac{27}{28}\]
Im Mittel soll eine Einnahme in Höhe von 1,25 Euro erwartet werden können. Demnach muss bei einem Einsatz von 2 Euro im Mittel eine Auszahlung in Höhe von 0,75 Euro erfolgen.
\[\Longrightarrow \quad E(A) = 0{,}75\]
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*}E(A) &= 0{,}75 \\[0.8em] x \cdot \frac{1}{28} + 0 \cdot \frac{27}{28} &= 0{,}75 \\[0.8em] \frac{x}{28} &= 0{,}75 & &| \cdot 28 \\[0.8em] x &= 21 \end{align*}\]
Damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für die Ausstattung des Spielbetriebs erwartet werden kann, muss im Fall eines Gewinns ein Geldbetrag in Höhe von 21 Euro ausbezahlt werden.
2. Lösungsansatz: Betrachtung der Einnahme des Spielbetreibers
Es sei \(E\) die Zufallsgröße, welche jedem Ergebnis des Spiels eine Einnahme in Euro für den Betreiber des Spiels (Krankenhaus) zuordnet.
| \(\displaystyle E = e_i\) | \(\displaystyle 2 - x\) | \(\displaystyle 2\) |
| \(\displaystyle P(E = e_i)\) | \(\displaystyle \frac{1}{28}\) | \(\displaystyle \frac{27}{28}\) |
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(E\)
Gewinnt der Spieler, bedeutet dies für den Betreiber einen Verlust von \((2 - x)\) Euro, wobei \(x\) die Höhe des auszuzahlenden Gewinns ist. Verliert der Spieler, nimmt der Betreiber 2 Euro ein.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist aus Teilaufgabe 1a bekannt.
\[P(\text{Gewinn}) = \frac{1}{28}\]
\[\Longrightarrow \quad P(E = 2 - x) = \frac{1}{28}\]
Da die Zufallsgröße \(E\) nur die beiden Werte \(e_1 = 2 - x\) und \(e_2 = 2\) annimmt, gilt:
\[P(E = 2) = 1 - P(E = 2 - x) = 1 - \frac{1}{28} = \frac{27}{28}\]
Im Mittel soll eine Einnahme in Höhe von 1,25 Euro erwartet werden können.
\[\Longrightarrow \quad E(E) = 1{,}25\]
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*}E(E) &= 1{,}25 \\[0.8em] (2 - x) \cdot \frac{1}{28} + 2 \cdot \frac{27}{28} &= 1{,}25 \\[0.8em] \frac{56 - x}{28} &= 1{,}25 & &| \cdot 28 \\[0.8em] 56 - x &= 35 & &| + x \enspace - 35 \\[0.8em] 21 &= x \end{align*}\]
Damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für die Ausstattung des Spielbetriebs erwartet werden kann, muss im Fall eines Gewinns ein Geldbetrag in Höhe von 21 Euro ausbezahlt werden.
3. Lösungsansatz: Betrachtung des Gewinns eines Spielers
Es sei \(G\) die Zufallsgröße, welche jedem Ergebnis des Spiels einen Gewinn in Euro für den Spieler zuordnet.
| \(\displaystyle G = g_i\) | \(\displaystyle x - 2\) | \(\displaystyle -2\) |
| \(\displaystyle P(G = g_i)\) | \(\displaystyle \frac{1}{28}\) | \(\displaystyle \frac{27}{28}\) |
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\)
Gewinnt der Spieler, nimmt er bei einem Einsatz von 2 Euro einen Betrag in Höhe von \((x - 2)\) Euro ein, wobei \(x\) die Höhe des auszuzahlenden Gewinns ist. Verliert der Spieler, verliert er seinen Einsatz.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist aus Teilaufgabe 1a bekannt.
\[P(\text{Gewinn}) = \frac{1}{28}\]
\[\Longrightarrow \quad P(G = x - 2) = \frac{1}{28}\]
Da die Zufallsgröße \(G\) nur die beiden Werte \(g_1 = x - 2\) und \(g_2 = -2\) annimmt, gilt:
\[P(G = -2) = 1 - P(G = x - 2) = 1 - \frac{1}{28} = \frac{27}{28}\]
Im Mittel soll eine Einnahme in Höhe von 1,25 Euro erwartet werden können. Demnach muss ein Spieler im Mittel 1,25 Euro verlieren.
\[\Longrightarrow \quad E(G) = -1{,}25\]
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*}E(G) &= -1{,}25 \\[0.8em] (x - 2) \cdot \frac{1}{28} + (-2) \cdot \frac{27}{28} &= 1{,}25 \\[0.8em] \frac{x - 56}{28} &= -1{,}25 & &| \cdot 28 \\[0.8em] x - 56 &= -35 & &| + 56 \\[0.8em] x &= 21 \end{align*}\]
Damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für die Ausstattung des Spielbetriebs erwartet werden kann, muss im Fall eines Gewinns ein Geldbetrag in Höhe von 21 Euro ausbezahlt werden.
