Der Punkt \(T(7|10|0)\) liegt auf der Kante \([A_{3}A_{4}]\). Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) gibt, für die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander senkrecht. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe c
\(T(7|10|0) \in [A_{3}A_{4}]\), \(P \in [B_{3}B_{4}]\)
![Punkt P ∈ [B₃B₄], Punkt T(7|10|0) ∈ [A₃A₄], Verbindungsvektoren zwischen den Punkten P und B₁ sowie zwischen den Punkten T und B₁](/images/stories/B2020_PT_B_G1/B2020_PT_B_G1_c.png)
Es gibt Punkte \(P\) auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\), deren Verbindungsstrecken zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) aufeinander senkrecht stehen, wenn die Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{PB_{1}}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{PT}}\) zueinander senkrecht sind. Dies ist dann der Fall, wenn das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren gleich Null ist.
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
Punkte \(P\) auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) formulieren
1. Möglichkeit: Anhand der Lage der Punkte \(B_{3}\) und \(B_{4}\)
Da die Punkte \(B_{3}(20|10|4)\) und \(B_{4}(0|10|4)\) (vgl. Teilaufgabe a) die gleiche \(x_{2}\)- und \(x_{3}\)-Koordinate haben, verläuft die Kante \([B_{3}B_{4}]\) parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene und parallel zur \(x_{1}x_{3}\)-Ebene. Somit unterscheiden sich alle Punkte auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) von Punkt \(B_{3}\) bzw. \(B_{4}\) nur in der \(x_{1}\)-Koordinate.
\(B_{3}(\textcolor{#e9b509}{20}|\textcolor{#89ba17}{10}|\textcolor{#89ba17}{4})\), \(B_{4}(\textcolor{#e9b509}{0}|\textcolor{#89ba17}{10}|\textcolor{#89ba17}{4})\)
\[\Longrightarrow \quad P_{k}(k|\textcolor{#89ba17}{10}|\textcolor{#89ba17}{4}) \in [B_{3}B_{4}]; \; k \in [\textcolor{#e9b509}{0};\textcolor{#e9b509}{20}]\]
2. Möglichkeit: Gleichung der Strecke \([B_{3}B_{4}]\) in Parameterform
Eine Gleichung der Strecke \([B_{3}B_{4}]\) in Parameterform beschreibt die Menge aller Punkte der Kante \([B_{3}B_{4}]\).
Beispielsweise ist \(\overrightarrow{X} = \overrightarrow{B_{3}} + \lambda \cdot \overrightarrow{B_{3}B_{4}}\) mit \(\textcolor{#cc071e}{0 \leq \lambda \leq 1}\) eine Gleichung der Strecke \([B_{3}B_{4}]\) in Parameterform.
Gleichung einer Gerade / Strecke in Parameterform
Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform
\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.
Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).
Gleichung einer Strecke \([AB]\) in Parameterform:
\[\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \textcolor{#cc071e}{\lambda \in [0;1]} \]
\[\overrightarrow{B_{3}B_{4}} = \overrightarrow{B_{4}} - \overrightarrow{B_{3}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad [B_{3}B_{4}]\colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \; 0 \leq \lambda \leq 1\]
Die Punkte auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) lassen sich damit in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) wie folgt formulieren:
\[\overrightarrow{P_{\lambda}} = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 - 20\lambda \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix}; \; 0 \leq \lambda \leq 1\]
Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{PB_{1}}\) und \(\overrightarrow{PT}\) bestimmen
\(B_{1}(0|0|6)\), \(T(7|10|0)\)
Mit \(P_{k}(k|10|4); k \in [0;20]\) (vgl. 1. Möglichkeit) folgt:
\[\overrightarrow{P_{k}B_{1}} = \overrightarrow{B_{1}} - \overrightarrow{P_{k}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} k \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - k \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{P_{k}T} = \overrightarrow{T} - \overrightarrow{P_{k}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} k \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - k \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\]
Oder mit \(\overrightarrow{P_{\lambda}} = \begin{pmatrix} 20 - 20\lambda \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix}; \; 0 \leq \lambda \leq 1\) (vgl. 2. Möglichkeit) folgt:
\[\overrightarrow{P_{\lambda}B_{1}} = \overrightarrow{B_{1}} - \overrightarrow{P_{\lambda}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 20 - 20\lambda \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 + 20\lambda \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{P_{\lambda}T} = \overrightarrow{T} - \overrightarrow{P_{\lambda}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 20 - 20\lambda \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 + 20\lambda \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\]
Orthogonalität der Verbindungsvektoren prüfen
Mit \(\overrightarrow{P_{k}B_{1}} = \begin{pmatrix} - k \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{P_{k}T} = \begin{pmatrix} 7 - k \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\) (vgl. 1. Möglichkeit) ergibt sich:
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{P_{k}B_{1}} \circ \overrightarrow{P_{k}T} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} - k \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 7 - k \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (-k) \cdot (7 - k) + (-10) \cdot 0 + 2 \cdot (-4) &= 0 \\[0.8em] -7k + k^{2} -8 &= 0 \\[0.8em] k^{2} - 7k - 8 &= 0\end{align*}\]
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) anwenden:
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)
\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
\[\begin{align*} k_{1.2} &= \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} \\[0.8em] &= \frac{7 \pm 9}{2}\end{align*}\]
\[k_{1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8; \; k_{1} \in [0;20]\]
\[\left(k_{2} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1; \; k_{2} \textcolor{#cc071e}{\notin} [0;20]\right)\]
\[\textcolor{#89ba17}{k_{1} = 8} \quad \Longrightarrow \quad P_{\textcolor{#89ba17}{8}}(\textcolor{#89ba17}{8}|10|4)\]
Die Verbindungsstrecken des Punktes \(P_{8}(8|10|4)\) zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander senkrecht.
Oder mit \(\overrightarrow{P_{\lambda}B_{1}} = \begin{pmatrix} -20 + 20\lambda \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{P_{\lambda}T} = \begin{pmatrix} -13 + 20\lambda \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\) (vgl. 2. Möglichkeit) ergibt sich:
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{P_{\lambda}B_{1}} \circ \overrightarrow{P_{\lambda}T} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} -20 + 20\lambda \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -13 + 20\lambda \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (-20 + 20\lambda) \cdot (-13 + 20\lambda) + (-10) \cdot 0 + 2 \cdot (-4) &= 0 \\[0.8em] 260 - 400\lambda -260\lambda + 400\lambda^{2} -8 &= 0 \\[0.8em] 400\lambda^{2} -660\lambda + 252 &= 0\end{align*}\]
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) anwenden:
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)
\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
\[\begin{align*} \lambda_{1.2} &= \frac{660 \pm \sqrt{(-660)^{2} - 4 \cdot 400 \cdot (252)}}{2 \cdot 400} \\[0.8em] &= \frac{660 \pm \sqrt{32400}}{800} \\[0.8em] &= \frac{660 \pm 180}{800}\end{align*}\]
\[\left(\lambda_{1} = \frac{660 + 180}{800} = \frac{840}{800} = 1{,}05; \; \lambda_{1} \textcolor{#cc071e}{\notin} [0;20]\right)\]
\[\lambda_{2} = \frac{660 - 180}{800} = \frac{480}{800} = 0{,}6; \; \lambda_{2} \in [0;20]\]
\[\textcolor{#89ba17}{\lambda_{2} = 0{,}6} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{P}_{\textcolor{#89ba17}{0{,}6}} = \begin{pmatrix} 20 - 20 \cdot \textcolor{#89ba17}{0{,}6} \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix}\]
Die Verbindungsstrecken des Punktes \(P_\textcolor{#89ba17}{{0{,}6}}(8|10|4)\) zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander senkrecht.
