Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Betrachtet wird eine Bernoullikette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20. Beschreiben Sie zu dieser Bernoullikette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}9^{20} + 20 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{19}\) angegeben wird.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

\[p = 0{,}9\,; \quad n = 20\]

 

Der Term \(0{,}9^{20} + 20 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{19}\) gibt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „MIndestens 19 Treffer" oder „Höchstens eine Niete" an.

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\) „Anzahl der Treffer"

Formel von Bernoulli

Formel von Bernoulli

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:

\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]

\[\begin{align*}P(\text{„mindestens 19 Treffer"}) &= P_{0{,}9}^{20}(X \geq 19) \\[0.8em] &= \underbrace{P_{0{,}9}^{20}(X = 19)}_{\text{19 Treffer}} + \underbrace{P_{0{,}9}^{20}(X = 20)}_{\text{20 Treffer}} \\[0.8em] &= \underbrace{\binom{20}{19}}_{20} \cdot 0{,}9^{19} \cdot (1 - 0{,}9)^{20 - 19} + \underbrace{\binom{20}{20}}_{1} \cdot 0{,}9^{20} \cdot (1 - 0{,}9)^{20 - 20} \\[0.8em] &= 20 \cdot 0{,}9^{19} \cdot 0{,}1^1 + 1 \cdot 0{,}9^{20} \cdot 0{,}1^0 \\[0.8em] &= 20 \cdot 0{,}9^{19} \cdot 0{,}1 + 0{,}9^{20}\end{align*}\]

 

Anmerkung:

\[\binom{n}{k = n} = 1\,; \quad \binom{n}{k = n - 1} = n\,;\]