Lisa erreichte im Training in 90 % aller Fälle bei sechs Schüssen mindestens einen Treffer. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr erster Schuss im Wettbewerb ein Treffer ist, wenn man davon ausgeht, dass sich ihre Trefferquote im Vergleich zum Training nicht ändert. Legen Sie Ihrer Berechnung als Modell eine geeignete Bernoullikette zugrunde
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3c
Modell: Bernoulli-Kette der Länge \(n = 6\) mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Ereignis „Lisa erzielt einen Treffer."
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Treffer von Lisa beschreibt.
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
\begin{align*} P_{p}^{6}(X \geq 1) &= 0{,}90 & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{p}^{6}(X = 0) &= 0{,}90 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{p}^{6}(X = 0) &= -0{,}10 & &| \cdot (-1) \\[0.8em] P_{p}^{6}(X = 0) &= 0{,}10 & &| \; P_{p}^{6}(X = 0)\;\text{ausformulieren} \\[0.8em] \underbrace{\binom{6}{0}}_{1} \cdot \underbrace{{p}^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{6 - 0} &= 0{,}10 \\[0.8em] (1 - p)^{6} &= 0{,}10 &&| \; \sqrt[6]{(\dots)} \\[0.8em] 1 - p &= \sqrt[6]{0{,}1} &&| - \sqrt[6]{0{,}1} + p \\[0.8em] 1 - \sqrt[6]{0{,}1} &= p \\[0.8em] p &\approx 0{,}31871 \end{align*}
Der erste Schuss von Lisa ist (wie jeder andere Schuss) mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 31,9 % ein Treffer.
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Da davon ausgegangen werden soll, dass sich Lisas Trefferquote im vergleich zum Training nicht ändert, wird diese als konstant angenommen. Das bedeutet, Lisa triff beim ersten Schuss im Wettbewerb sowie bei allen weiteren Schüssen immer mit der konstanten Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.
Der Berechnung von Lisas Trefferquote wird das Modell einer Bernoulli-Kette der Länge \(n = 6\) (sechs Schüsse) mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) zugrunde gelegt.
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Treffer von Lisa beschreibt.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(6;p)\) binomialverteilt.
Ansatz formulieren:
„Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr erster Schuss im Wettbewerb ein Treffer ist, wenn man davon ausgeht, dass sich ihre Trefferquote im Vergleich zum Training nicht ändert."
\(\Longrightarrow \quad\)Gesucht ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(\textcolor{#cc071e}{p}\) (vgl. oben).
„Lisa erreichte im Training in 90 % aller Fälle bei sechs Schüssen mindestens einen Treffer."
\(\Longrightarrow \quad P_{\textcolor{#cc071e}{p}}^{\textcolor{#89ba17}{6}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 1}) = \textcolor{#0087c1}{0{,}9}\)
Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) (Lisas Trefferquote) berechnen:
Hierfür wird das Ereignis „mindestens ein Treffer" durch die Verneinung des Gegenereignisses formuliert: „nicht kein Treffer".
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
\begin{align*} P_{p}^{6}(X \geq 1) &= 0{,}90 & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{p}^{6}(X = 0) &= 0{,}90 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{p}^{6}(X = 0) &= -0{,}10 & &| \cdot (-1) \\[0.8em] P_{p}^{6}(X = 0) &= 0{,}10 & &| \; P_{p}^{6}(X = 0)\;\text{ausformulieren} \\[0.8em] \underbrace{\binom{6}{0}}_{1} \cdot \underbrace{{p}^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{6 - 0} &= 0{,}10 \\[0.8em] (1 - p)^{6} &= 0{,}10 &&| \; \sqrt[6]{(\dots)} \\[0.8em] 1 - p &= \sqrt[6]{0{,}1} &&| - \sqrt[6]{0{,}1} + p \\[0.8em] 1 - \sqrt[6]{0{,}1} &= p \\[0.8em] p &\approx 0{,}31871 \end{align*}
Der erste Schuss von Lisa ist (wie jeder andere Schuss) mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 31,9 % ein Treffer.
