Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus ist mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es eine Holzpelletheizung?
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Unter der Bedingung, dass ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet ist, soll die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass dieses Einfamilienhaus zudem mit einer Holzpelletheizung ausgestattet ist.
Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{S}(H)\).
Mithilfe der Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 1a ergibt sich:
| \(H\) | \(\overline{H}\) | ||
| \(S\) | \(\textcolor{#0087c1}{\mathbf{1600}}\) | \(600\) | \(\textcolor{#0087c1}{\mathbf{2200}}\) |
| \(\overline{S}\) | \(800\) | \(3000\) | \(3800\) |
| \(2400\) | \(3600\) | \(6000\) |
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
\[P_{S}(H) = \frac{\vert S \cap H \vert}{\vert S \vert} = \frac{\textcolor{#0087c1}{1600}}{\textcolor{#0087c1}{2200}} = \frac{8}{11}\]
oder
| \(H\) | \(\overline{H}\) | ||
| \(S\) | \(\textcolor{#0087c1}{\mathbf{\frac{4}{15}}}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\textcolor{#0087c1}{\mathbf{\frac{11}{30}}}\) |
| \(\overline{S}\) | \(\frac{2}{15}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{19}{30}\) |
| \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(1\) |
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[P_{S}(H) = \frac{P(S \cap H)}{P(S)} = \frac{\textcolor{#0087c1}{\frac{4}{15}}}{\textcolor{#0087c1}{\frac{11}{30}}} = \frac{8}{11}\]
