Für \(x \geq 0\) beschreibt die Funktion \(h\) modelhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist \(x\) die seit dem Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und \(h(x)\) die momentane Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute.
Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens von \(G_h\) sowie des Grenzwerts von \(h\) für \(x \to +\infty\) an.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Der Graph von \(h\) fällt streng monoton. Demnach sinkt die Schadstoffausstoßrate kontinuierlich, und der Schadstoffausstoß der Maschine geht nach dem Einschalten mit der Zeit zurück. Nach längerem Betrieb der Maschine erreicht die Schadstoffausstoßrate eine konstante Untergrenze von \(1{,}5 \frac{\text{mg}}{\text{min}}\).
\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} h(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \Bigg ( 6 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5x}}_{\to \, 0} + 1{,}5 \Bigg ) = 1{,}5\]
