Ermitteln Sie in Abhängigkeit von \(a\), welche Werte die Ableitung von \(g_{a,c}\) annehmen kann.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
\[g_{a,c}(x) = \sin(ax) + c\,; \quad a,c \in \mathbb R^+_0\]
Erste Ableitung \(g'_{a,c}\) bilden:
Ableitungsregeln
Ableitung der Sinusfunktion
\[ f(x) = \sin x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \cos x\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
(vgl. Merkhilfe)
\[g_{a,c}(x) = \sin(ax) + c\]
\[\begin{align*} g'_{a,c}(x) &= \cos(ax) \cdot a + 0 \\[0.8em] &= \underbrace{\cos(ax)}_{W \, = \, [-1;1]} \cdot a \end{align*}\]
Die Wertemenge \(W = [-1;1]\) der Kosinusfunktion \(x \mapsto \cos(ac)\) wird um den Faktor \(a\) erweitert.
\[\Longrightarrow \quad W_{g'_{a,c}} = [-a;a]\]
