Abiturlösungen Mathematik Bayern 2022

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Bestimmen Sie den Funktionswert von \(f\) an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Graphische Bestimmung der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion F an der Stelle x = 1Abb. 1

\[f(1) = F'(1) = 4\]

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Graphische Bestimmung der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion F an der Stelle x = 1Abb. 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_F\) einer in \(\mathbb R\) definierten Stammfunktion \(F\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\). Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt:

Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

\[F'(x) = f(x)\]

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

Die Steigung \(\textcolor{#cc071e}{m}\) der Tangente an den Graphen der Stammfunktion \(F\) an der Stelle \(\textcolor{#cc071e}{x = 1}\) beschreibt den Wert der Ableitungsfunktion \(F'\) an der Stelle \(x = 1\), also den Funktionswert \(\textcolor{#cc071e}{F'(1)}\). Mithilfe eines Steigungsdreiecks ergibt sich: \(\textcolor{#cc071e}{m = F'(1) = 4}\). 

Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt:

 

\[f(1) = \textcolor{#cc071e}{F'(1) = 4}\]