Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen \(w_{a;b;c}\) beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von \(a\), \(b\) und \(c\).
\[\textsf{(1)} \enspace \frac{a}{b+1} = 20\]
\[\textsf{(2)}\enspace \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{a}{b+e^{cx}} = 45\]
\[\textsf{(3)} \enspace \frac{a}{b+e^{15c}} = 35\]
Interpretieren Sie jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2d
Interpretation von Gleichung (1) im Sachzusammenhang
\[\textsf{(1)} \enspace \frac{a}{b+1} = 20\]
Beispielsweise: Auf der Inselgruppe werden 20 Seeadler neu angesiedelt.
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Das Modell beschreibt die Entwicklung der Anzahl der Seeadler. Die Anzahl der angesiedelten Seeadler ist bei jedem Modell die gleiche. Es wurden 20 Seeadler angesiedelt (vgl. Teilaufgabe b).
Der Term \(\dfrac{a}{b+1}\) ergibt sich für \(x = \textcolor{#e9b509}{0}\), also dem Zeitpunkt der Ansiedlung, mithilfe der in Aufgabe 2 genannten Funktionenschar \(w_{a;b;c} \colon x \mapsto \dfrac{a}{b+e^{cx}}\) mit \(a,b \in \mathbb R^+\) und \(c \in \mathbb R\).
\[w_{a;b;c}(\textcolor{#e9b509}{0}) = \frac{a}{b + e^{c \cdot \textcolor{#e9b509}{0}}} = \frac{a}{b+e^0} = \frac{a}{b + 1}\]
Interpretation von Gleichung (2) im Sachzusammenhang
\[\textsf{(2)}\enspace \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{a}{b+e^{cx}} = 45\]
Beispielsweise: Auf lange Sicht werden auf der Inselgruppe gemäß dem Modell 45 Seeadler leben.
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Da \(x\) die Zeit in Jahren bedeutet und \(w_{a;b;c}(x)\) die Anzahl der Seeadler, beschreibt die Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}w_{a;b;c}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \dfrac{a}{b+e^{cx}}\) die langfristige Entwicklung der Anzahl der Seeadler. Laut Modell liegt die Obergrenze bei 45 Seeadlern.
Interpretation von Gleichung (3) im Sachzusammenhang
\[\textsf{(3)} \enspace \frac{a}{b+e^{15c}} = 35\]
Beispielsweise: Nach 15 Jahren leben auf der Inselgruppe gemäß dem Modell 35 Seeadler.
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Der Term \(\dfrac{a}{b+e^{\textcolor{#e9b509}{15}c}}\) ergibt sich für \(x = \textcolor{#e9b509}{15}\), also 15 Jahre nach der Ansiedlung, mithilfe der in Aufgabe 2 genannten Funktionenschar \(w_{a;b;c} \colon x \mapsto \dfrac{a}{b+e^{cx}}\) mit \(a,b \in \mathbb R^+\) und \(c \in \mathbb R\).
\[w_{a;b;c}(\textcolor{#e9b509}{15}) = \frac{a}{b + e^{c \cdot \textcolor{#e9b509}{15}}} = \frac{a}{b+e^{\textcolor{#e9b509}{15}c}}\]
