Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_g\).
Geben Sie \(D_g\) sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) an.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[g(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\]
\[D_{g} = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\]
Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\): \(y = 2\)
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Maximale Definitionsmenge \(D_g\)
\[g(x) = \dfrac{2x^2}{\textcolor{#e9b509}{x^2 - 9}}\]
Maximale Definitionsmenge bestimmen
Gebrochenrationale Funktion / Quotient von Funktionen
\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]
Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!
Wurzelfunktion
\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]
Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!
(natürliche) Logarithmusfunktion
\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) bzw. \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!
Der Nenner der gebrochenrationalen Funktion \(g\) darf nicht null sein.
\[\begin{align*}g(x) &= \dfrac{2x^2}{\textcolor{#e9b509}{x^2 - 9}} &&| \; \textcolor{#e9b509}{a^2 - b^2} = \textcolor{#e9b509}{(a - b)(a + b)} \\[0.8em] &= \frac{2x + 2}{\textcolor{#e9b509}{(x - 3)(x + 3)}}\end{align*}\]
\[\Rightarrow \enspace D_{g} = \mathbb R \backslash \{\textcolor{#e9b509}{-3};\textcolor{#e9b509}{3}\}\]
oder
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{x^2 - 9} &\textcolor{#e9b509}{=} \textcolor{#e9b509}{0} &&| +9 \\[0.8em] x^2 &= 9 &&| \; \sqrt{\dots} \\[0.8em] x_{1,2} &= \textcolor{#e9b509}{\pm 3}\end{align*}\]
\[\Rightarrow \enspace D_{g} = \mathbb R \backslash \{\textcolor{#e9b509}{-3};\textcolor{#e9b509}{3}\}\]
Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\)
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
1. Möglichkeit: Vergleich des Zähler- und Nennerpolynoms
\[g(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{2x^2}^{\text{Grad 2}}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x^2 - 9}_{\text{Grad 2}}}}; \; D_{g} = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\]
Da das Zähler- und das Nennerpolynom vom selben Grad ist, besitzt der Graph der gebrochenrationalen Funktion \(g\) eine waagrechte Asymptote, welche parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse verläuft.
Die Gleichung der waagrechten Asymptote ergibt sich aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen des Zähler- und Nennerpolynoms.
\[g(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{2 \cdot x^2}}{\textcolor{#e9b509}{1 \cdot x^2 - 9}} \enspace \Rightarrow \enspace y = \frac{\textcolor{#0087c1}{2}}{\textcolor{#e9b509}{1}} = 2\]
Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\): \(y = 2\)
2. Möglichkeit: Grenzwertbetrachtung für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\)
Waagrechte (und schräge) Asymptoten bestimmen das Verhalten des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen.
Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x \to \pm \infty} g(x)\) wird die höchste Potenz des Nennerpolynoms (hier \(\textcolor{#e9b509}{x^2}\)) im Zähler und im Nenner ausgeklammert und gekürzt.
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,\pm \infty} g(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm \infty} \frac{2x^2}{\textcolor{#e9b509}{x^2} - 9} &&| \; \textcolor{#e9b509}{x^2} \;\text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm \infty} \frac{\cancel{\textcolor{#e9b509}{x^2}} \cdot 2}{\cancel{\textcolor{#e9b509}{x^2}} \cdot \Big(\underbrace{1 - \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\frac{9}{x^2}}_{\to\,0}}}_{\to\,1} \Big)} &&| \;(x \neq 0) \\[0.8em] &= \frac{2}{1} = 2\end{align*}\]
Folglich ist \(y = 2\) die Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\).
