In Deutschland waren zu Beginn des Jahres 2021 etwa 320 000 Pkw mit rein elektrischem Antrieb und 280 000 Plug-in-Hybride zugelassen, also insgesamt 600 000 Pkw mit Elektromotor. Der Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand aller in Deutschland zugelassenen Pkw betrug rund 1,2 %. Bestimmen Sie die Anzahl der Pkw, die aus diesem Gesamtbestand mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 97 % mindestens ein Pkw mit rein elektrischem Antrieb darunter ist.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Pkw mit rein elektrischem Antrieb von \(\textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{n}}\) aus dem Gesamtbestand ausgewählten Pkw beschreibt.
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{n};\textcolor{#cc071e}{p})\) binomialverteilt (wegen Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen", vgl. Angabe Aufgabe 1).
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Trefferwahrscheinlichkeit \(\textcolor{#cc071e}{p}\) berechnen:
Zu bestimmen ist der Anteil der Pkw mit rein elektrischem Antrieb am Gesamtbestand aller in Deutschland zugelassenen Pkw.
Anteil der Pkw mit rein elektrischem Antrieb an den Pkw mit Elektromotor:
„In Deutschland waren zu Beginn des Jahres 2021 etwa 320 000 Pkw mit rein elektrischem Antrieb und 280 000 Plug-in-Hybride zugelassen, also insgesamt 600 000 Pkw mit Elektromotor."
\[\frac{320000}{600000} = \frac{8}{15}\]
„Der Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand aller in Deutschland zugelassenen Pkw betrug rund 1,2 %."
Anteil der Pkw mit rein elektrischem Antrieb am Gesamtbestand aller in Deutschland zugelassenen Pkw:
\[\underbrace{\frac{8}{15} \cdot 0{,}012}_{\large{\frac{8}{15}\;\text{von}\;1{,}2\,\%}} = \frac{4}{625} = \textcolor{#cc071e}{0{,}0064 = p}\]
3-Mindestens-Aufgabe formulieren:
„Bestimmen Sie die Anzahl der Pkw, die aus diesem Gesamtbestand mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 97 % mindestens ein Pkw mit rein elektrischem Antrieb darunter ist."
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
\[\begin{align*} P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}0064}}^{\textcolor{#0087c1}{n}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 1}) &\textcolor{#89ba17}{>} \textcolor{#89ba17}{0{,}97} & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}0064}^{n}(X = 0) &> 0{,}97 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}0064}^{n}(X = 0) &> -0{,}03 & &| \textcolor{#cc071e}{\cdot (-1)} \enspace \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht sich!}} \\[0.8em] P_{0{,}0064}^{n}(X = 0) &\textcolor{#cc071e}{<} 0{,}03 & &| \; P_{0{,}0064}^{n}(X = 0)\;\text{ausformulieren} \\[0.8em] \binom{n}{0} \cdot {0{,}0064}^{0} \cdot (1 - 0{,}0064)^{n - 0} &< 0{,}03 &&| \; \binom{n}{0} = 1; \; a^0 = 1 \\[0.8em] {0{,}9936}^{n} &< 0{,}03 & &| \; \ln \;\text{(Logarithmieren)}\\[0.8em] \ln\left( {0{,}9936}^{n} \right) &< \ln 0{,}03 & &| \; \log_{a}\left(b^{r}\right) = r \cdot \log_{a}b \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}9936 &< \ln 0{,}03 & &| \textcolor{#cc071e}{: \ln 0{,}9936 < 0} \enspace \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht sich!}} \\[0.8em] n &\textcolor{#cc071e}{>} \frac{\ln 0{,}03}{\ln 0{,}9936} \\[0.8em] n &> 564{,}1\dots &&| \; n \in \mathbb N\; \text{(Anzahl der Pkw, ...)} \\[1.6em] \Rightarrow \enspace n &= 547 \end{align*}\]
Aus dem Gesamtbestand müssen mindestens 547 Pkw ausgewählt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 97 % mindestens ein Pkw mit rein elektrischem Antrieb darunter ist.
