Weisen Sie mithilfe einer Stammfunktion die Gültigkeit der Aussage durch Rechnung nach.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4b
Bestimmtes Integral
\[\int_{0}^{\pi} \sin(2x)\,dx = 0\]
Stammfunktion von \(\sin(2x)\) bestimmen:
Wichtige unbestimmte Integrale:
\[\int f(ax + b)\;dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\]
Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
\[\int \sin x\;dx = -\cos x + C\]
(vgl. Merkhilfe)
\[f(ax + b) = \sin(2x) \quad \Longrightarrow \quad ax +b = 2x \quad \Longrightarrow \quad a = 2, \enspace b = 0\]
\[f(x) = \sin x \quad \Longrightarrow \quad F(x) = -\cos x\]
\[\Longrightarrow \quad \int \sin(2x)~dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C\]
\(\Longrightarrow \quad\) Für \(C = 0\) ist \(H(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x)\) eine Stammfunktion von \(h(x) = \sin(2x)\).
Bestimmtes Integral berechnen:
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin(2x)\;dx &= \left [ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right ]_{0}^{\pi} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} \underbrace{\cos(2\pi)}_{1} - \bigg ( -\frac{1}{2} \underbrace{\cos(2 \cdot 0)}_{1} \bigg ) \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
