Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_f\) in \(\mathbb R\) streng monoton steigt.
(zur Kontrolle: \(f'(x)= \displaystyle \frac{18e^x}{(e^x + 9)^2}\))
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
\[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\]
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Ableitung der Funktion \(f\) bestimmen:
Quotientenregel
\[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= \frac{2e^x \cdot (e^x + 9) - 2e^x \cdot e^x}{(e^x + 9)^2} \\[0.8em] &= \frac{2e^{2x} + 18e^x - 2e^{2x}}{(e^x + 9)^2} \\[0.8em] &= \frac{18\overbrace{e^x}^{>\,0}}{\underbrace{(e^x + 9)^2}_{>\,0}}\end{align*}\]
Monotoniekriterium anwenden:
\(\Longrightarrow \quad f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb R\)
\(\Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(\mathbb R\) streng monoton steigend.