Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_f\) in \(\mathbb R\) streng monoton steigt.

(zur Kontrolle: \(f'(x)= \displaystyle \frac{18e^x}{(e^x + 9)^2}\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

\[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\]

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Ableitung der Funktion \(f\) bestimmen:

Ableitungsregeln

Quotientenregel

\[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= \frac{2e^x \cdot (e^x + 9) - 2e^x \cdot e^x}{(e^x + 9)^2} \\[0.8em] &= \frac{2e^{2x} + 18e^x - 2e^{2x}}{(e^x + 9)^2} \\[0.8em] &= \frac{18\overbrace{e^x}^{>\,0}}{\underbrace{(e^x + 9)^2}_{>\,0}}\end{align*}\]

 

Monotoniekriterium anwenden:

 

\(\Longrightarrow \quad f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb R\)

\(\Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(\mathbb R\) streng monoton steigend.