Auf der Strecke München-Tokio bietet eine Fluggesellschaft ihren Passagieren verschiedene Menüs an, darunter ein vegetarisches. Aus Erfahrung weiß man, dass sich im Mittel 10 % der Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die Passagiere ihre jeweilige Menüauswahl unabhängig voneinander treffen.
Auf einem Flug nach Tokio sind 200 Passagiere an Bord. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens 20 und höchstens 25 Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Zufallsgröße \(V \colon \enspace\) "Anzahl der Passagiere, die sich für das vegetarische Menü entscheiden"
Analyse der Angabe:
"..., dass sich im Mittel 10 % der Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden."
\(\Longrightarrow \quad p = 0{,}1\)
"... sind 200 Passagiere an Bord."
\(\Longrightarrow \quad n = 200\)
"..., dass sich mindestens 20 und höchstens 25 Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden."
\(\Longrightarrow \quad 20 \leq V \leq 25\)
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
\[P^{200}_{0{,}1} (20 \leq V \leq 25) = P^{200}_{0{,}1} (V \leq 25) - P^{200}_{0{,}1}(V \leq 19)\]
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:
\[\begin {align*} P^{200}_{0{,}1} (20 \leq V \leq 25) &= P^{200}_{0{,}1} (V \leq 25) - P^{200}_{0{,}1}(V \leq 19) \\[0.8em] &= \underbrace{\sum \limits_{i \; = \; 0}^{25} B(200; 0{,}1; i)}_{\text{ST}} - \underbrace{\sum \limits_{i \; = \; 0}^{19} B(200; 0{,}1; i)}_{\text{ST}} \\[0.8em] &= 0{,}89954 - 0{,}46554 \\[0.8em] &= 0{,}434 \\[0.8em] &= 43{,}4 \; \% \end {align*}\]
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 43,4 % entscheiden sich mindestens 20 und höchstens 25 der 200 Passagiere für das vegetarische Menü.
