Geben Sie für die Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\) jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.
\[f_{1} \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^{2} - 4}\]
\[f_{2} \colon x \mapsto \ln{(x + 2)}\]
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1
\[f_{1}(x) = \frac{2x + 3}{x^{2} - 4}\]
Maximale Definitionsmenge von \(f_{1}\)
An den Nullstellen des Nennerterms ist die gebrochenrationale Funktion \(f_{1}\) nicht definiert. Nach Anwendung der 2. Binomischen Formel lassen sich die Nullstellen gut erkennen.
Maximale Definitionsmenge bestimmen
Gebrochenrationale Funktion / Quotient von Funktionen
\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]
Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!
Wurzelfunktion
\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]
Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!
(natürliche) Logarithmusfunktion
\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) bzw. \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!
\[\begin{align*}f_{1}(x) &= \frac{2x + 3}{\underbrace{x^{2} - 4}_{\Large{a^{2}\,-\,b^{2}}}} &&| \; \text{2. Binomische Formel anwenden} \\[0.8em] &= \frac{2x + 3}{\underbrace{(x - 2)(x + 2)}_{\Large{(a\,-\,b)(a\,+\,b)}}} \end{align*}\]
Alternative: Nullstellen des Nenners durch Rechnung bestimmen
\[\begin{align*} x^{2} - 4 &= 0 &&| + 4 \\[0.8em] x^{2} &= 4 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad D_{f_{1}} = \mathbb R \backslash \{-2:2\}\]
Nullstelle von \(f_{1}\)
Die Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion \(f_{1}\) ist die Nullstelle des Zählers \(2x + 3\), welche nicht zugleich Nullstelle des Nenners sein darf.
Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen
Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)
Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]
Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)
Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:
vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen
Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.
Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.
\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).
\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]
Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!
\[\begin{align*}f_{1}(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2x + 3 &= 0 &&| - 3 \\[0.8em] 2x &= -3 &&| : 2 \\[0.8em] x &= -\frac{3}{2} \end{align*}\]
\(x = -\dfrac{3}{2}\) ist einzige Nullstelle von \(f_{1}\), da diese nicht zugleich Nullstelle des Nenners von \(f_1\) ist.
Anmerkung:
Ist \(x_0\) eine Nullstelle der Zählerfunktion \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle der Nennerfunktion \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt eine gebrochnrationale Funktion \(f\colon x \mapsto \dfrac{z(x)}{n(x)}\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
\[f_{2}(x) = \ln{(x + 2)}\]
Maximale Definitionsmenge von \(f_{2}\)
Die Natürliche Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert. Das Argument \(x + 2\) der Funktion \(f_{2}\) darf somit nur positive Werte annehmen.
Maximale Definitionsmenge bestimmen
Gebrochenrationale Funktion / Quotient von Funktionen
\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]
Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!
Wurzelfunktion
\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]
Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!
(natürliche) Logarithmusfunktion
\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) bzw. \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!
\[\begin{align*}f_{2} = \ln{(x + 2)} \quad \Longrightarrow \quad x + 2 &> 0 &&| - 2 \\[0.8em] x &> -2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad D_{f_{2}} = ]-2;+\infty[ \]
Nullstelle von \(f_{2}\)
Die Natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(x = 1\), d.h. es gilt: \(\ln{1} = 0\).
Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen
Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).
\[\begin{align*}f_{2}(x) &= 0 \\[0.8em] \ln{(\textcolor{#cc071e}{x + 2})} &= 0 &&| \; \ln{\textcolor{#cc071e}{1}} = 0 \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{x + 2} &= \textcolor{#cc071e}{1} &&| - 2 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]
Alternative: Logarithmusgleichung lösen
\[\begin{align*} f_{2}(x) &= 0 \\[0.8em] \ln{(x + 2)} &= 0 &&| \; e^{(\dots)} \; \text{(zur Basis}\; e \; \text{potenzieren)} \\[0.8em] e^{\ln{(x + 2)}} &= e^{0} &&| \; e^{\ln{x}} = x; \; e^{0} = 1 \\[0.8em] x + 2 &= 1 &&| - 2 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]
\(x = -1\) ist einzige Nullstelle von \(f_{2}\).
