Der Punkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\) ist einer der beiden Wendepunkte von \(G_f\). Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) wird mit \(w\) bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w\) und berechnen Sie die Stelle, an der \(w\) die \(x\)-Achse schneidet.
(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\frac{1}{2}x \cdot e^{-\frac{1}{8}x^2}\,\))
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}; \; D_f = \mathbb R\]
Wendepunkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\)
Gleichung der Wendetangente \(w\)
Ansatz für die Gleichung der Wendetangente:
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[w \colon y = mx + t\]
1. Schritt: Steigung \(\textcolor{#cc071e}{\boldsymbol{m}}\) der Wendetangente bestimmen
Die erste Ableitungsfunktion \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[W\Big(\textcolor{#e9b509}{-2}\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\]
\[\textcolor{#cc071e}{m} = f'(\textcolor{#e9b509}{-2})\]
Erste Ableitungsfunktion \(f'\) bestimmen:
Hierfür wird die Kettenregel und die Faktorregel sowie die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion und die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.
\[f(x) = 2 \cdot \textcolor{#0087c1}{e}^{\textcolor{#cc071e}{-\frac{1}{8}x^2}}\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[f'(x) = 2 \cdot \textcolor{#0087c1}{e}^{\textcolor{#cc071e}{-\frac{1}{8}x^2}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\left(-\frac{1}{8} \cdot 2x \right)} = -\frac{1}{2}x \cdot e^{-\frac{1}{8}x^2}\]
\[\textcolor{#cc071e}{m} = f'(\textcolor{#e9b509}{-2}) = -\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{(-2)} \cdot e^{-\frac{1}{8} \cdot \textcolor{#e9b509}{(-2)}^2} = 1 \cdot e^{-\frac{1}{8} \cdot 4} = \textcolor{#cc071e}{e^{-\frac{1}{2}}}\]
2. Schritt: \(\boldsymbol{y}\)-Achsenabschnitt \(\boldsymbol{t}\) der Wendetangente berechnen
Einsetzen der Steigung \(\textcolor{#cc071e}{e^{-\frac{1}{2}}}\) sowie der Koordinaten des Wendepunkts \(W\Big(\textcolor{#e9b509}{-2}\Big|\textcolor{#0087c1}{2e^{-\frac{1}{2}}}\Big)\) in den Ansatz \(y = mx + t\) ergibt:
\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{2e^{-\frac{1}{2}}} &= \textcolor{#cc071e}{e^{-\frac{1}{2}}} \cdot \textcolor{#e9b509}{(-2)} + t \\[0.8em] 2e^{-\frac{1}{2}} &= -2e^{-\frac{1}{2}} + t &&| + 2e^{-\frac{1}{2}} \\[0.8em] 4e^{-\frac{1}{2}} &= t \end{align*}\]
Somit ist \(y = e^{-\frac{1}{2}} \cdot x + 4e^{-\frac{1}{2}}\) eine Gleichung der Wendetangente \(w\).
Stelle, an der \(w\) die \(x\)-Achse schneidet
\[w(x) = e^{-\frac{1}{2}} \cdot x + 4e^{-\frac{1}{2}}\]
\[\begin{align*} w(x) &= 0 \\[0.8em] e^{-\frac{1}{2}} \cdot x + 4e^{-\frac{1}{2}} &= 0 &&| : e^{-\frac{1}{2}} \\[0.8em] x + 4 &= 0 &&| - 4 \\[0.8em] x &= -4\end{align*}\]
