Ein Skeptiker nimmt an, dass der Anteil der Raucherinnen unter den 40- bis 44-jährigen Frauen größer als 30 % ist. Er testet die Nullhypothese \(H_0\,\colon\;p \leq 0{,}3\); dabei gibt \(p\) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine 40- bis 44-jährige Frau raucht. Im Rahmen des Tests stellt er jeder der zehn ausgewählten Frauen die Frage „Rauchen Sie?" und erhält dabei folgende Antworten: Ja - Nein - Ja - Nein - Ja - Ja - Nein - Nein - Nein - Ja. Untersuchen Sie, ob das Ergebnis der Befragung die Annahme des Skeptikers auf einem Signifikanzniveau von 5 % stützt.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der 40-44-jährigen Raucherinnen"
Analyse der Angabe:
"Er testet die Nullhypothese \(H_0\): \(p \leq 0{,}3\) ..."
\(\Longrightarrow \quad\) Nullhypothese \(H_0\): \(p \leq 0{,}3\)
"Ein Skeptiker meint, dass die Raucherrate ... höher als 0,3 ist."
\(\Longrightarrow \quad\) Gegenhypothese \(H_1\): \(p > 0{,}3\)
"Er stellt jeder der 10 ausgewählten Frauen die Frage ..."
\[\Longrightarrow \quad n = 10\]
"... Antwortprotokoll: "ja - nein - ja - nein - ja - ja - nein - nein - nein - ja"
\[\Longrightarrow \quad X = 5\]
"... auf einem Signifikanzniveau von 5 % ..."
\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\)
"Untersuchen Sie, ob das Ergebnis ... die Meinung ... auf einem Signifikanzniveau von 5 % stützt."
\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}05\)
1. Lösungsansatz: Vergleich Entscheidungsregel mit Stichprobenergebnis
Rechtsseitiger Signifikanztest
Einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\)
Ein einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\alpha\) überprüft eine Vermutung, dass eine Wahrscheinlichkeit \(p\) größer bzw. kleiner als eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(p_{0}\) ist. Dabei darf die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens den Wert des Signifikanzniveaus \(\alpha\) erreichen.
Linksseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \geq p \quad H_1 \colon p_1 < p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
Rechtsseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \leq p \quad H_1 \colon p_1 > p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{k + 1; ...; n\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \geq k +1) &\leq \alpha \\[0.8em] 1 - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha & &| - 1 \\[0.8em] - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha - 1 &&| \textcolor{red}{\cdot (-1)} \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\textcolor{red}{\geq} 1 - \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
ST: Stochastisches Tafelwerk
Nullhypothese \(H_0 \, \colon \, p \leq 0{,}3\)
Gegenhypothese \(H_1 \, \colon \, p > 0{,}3\)
Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{0; 1; ...; k\}\)
Ablehnungbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{k + 1; ...; 10\}\)
Signifikanztest formulieren:
Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer Nullhypothese aufgrund eines zufälligen Ergebnisses einer Stichprobe erfolgt, kann es zu Fehlentscheidungen kommen.
Fehler 1. Art und Fehler 2. Art
Fehler 1. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich abgelehnt.
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich angenommen bzw. nicht abgelehnt.
(vgl. Merkhilfe)
\(H_{0}\) ist wahr | \(H_{0}\) ist falsch | |
\(H_{0}\) wird abgelehnt | Fehler 1. Art | richtige Entscheidung |
\(H_{0}\) wird nicht abgelehnt | richtige Entscheidung | Fehler 2. Art |
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\alpha'}\) für den Fehler 1. Art
\[\alpha' = P(\text{Fehler 1. Art}) = P^{n}_{p_0} (X \in \overline{A})\]
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\beta'}\) für den Fehler 2. Art
\[\beta' = P(\text{Fehler 2. Art}) = P^n_{p_{1}} (X \in A)\]
Wobei \(A\) der Annahmebereich und \(\overline{A}\) der Ablehnungsbereich der Nullhypothese \(H_0\) ist. \(H_{1}\) bezeichnet die Gegenhypothese.
\[\begin{align*} P(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq 0{,}05 \\[0.8em] P_{0{,}3}^{10}(X \in \overline{A}) &\leq 0{,}05 \\[0.8em] P^{10}_{0{,}3} (X \geq k + 1) &\leq 0{,}05 \end{align*}\]
Betrachten des Gegenereignisses:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)
Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:
\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]
Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.
\[\begin {align*} P^{10}_{0{,}3} (X \geq k + 1) &\leq 0{,}05 \\[0.8em] 1 - P^{10}_{0{,}3} (X \leq k) &\leq 0{,}05 & &| -1 \\[0.8em] -P^{10}_{0{,}3} (X \leq k) &\leq -0{,}95 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^{10}_{0{,}3} (X \leq k) &\geq 0{,}95 \end {align*}\]
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:
\[P^{10}_{0{,}3} (X \leq k) = F^{10}_{0{,}3} (k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(10; 0{,}3; i) \geq 0{,}95\]
\[\overset {\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 5 \quad \left( F^{10}_{0{,}3} (5) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}95265 \right)\]
Entscheidungsregel formulieren:
Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{0; 1; ...; 5\}\)
Ablehnungbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{6; ...; 10\}\)
Das Antwortprotokoll weist fünf Raucherinnen aus. Damit liegt das Ergebnis der Befragung auf einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 5 \,\%\) im Annahmebereich der Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p_0 \leq 0{,}3\). Folglich stützt das Ergebnis der Befragung nicht die Meinung des Skeptikers.
2. Lösungsansatz: Vergleich \(P(\text{„Fehler 1. Art"})\) mit Signifikanzniveau
Bei bekanntem Stichprobenergebnis lässt sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art direkt mit dem Signifikanzniveau (Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art) vergleichen. Hierfür wird das Stichprobenergebnis dem Ablehnungsbereich der Nullhypothese zugeordnet und anschließend überprüft, ob die daraus resultierende Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art das Signifikanzniveau einhält oder überschreitet.
Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer Nullhypothese aufgrund eines zufälligen Ergebnisses einer Stichprobe erfolgt, kann es zu Fehlentscheidungen kommen.
Fehler 1. Art und Fehler 2. Art
Fehler 1. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich abgelehnt.
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich angenommen bzw. nicht abgelehnt.
(vgl. Merkhilfe)
\(H_{0}\) ist wahr | \(H_{0}\) ist falsch | |
\(H_{0}\) wird abgelehnt | Fehler 1. Art | richtige Entscheidung |
\(H_{0}\) wird nicht abgelehnt | richtige Entscheidung | Fehler 2. Art |
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\alpha'}\) für den Fehler 1. Art
\[\alpha' = P(\text{Fehler 1. Art}) = P^{n}_{p_0} (X \in \overline{A})\]
Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\beta'}\) für den Fehler 2. Art
\[\beta' = P(\text{Fehler 2. Art}) = P^n_{p_{1}} (X \in A)\]
Wobei \(A\) der Annahmebereich und \(\overline{A}\) der Ablehnungsbereich der Nullhypothese \(H_0\) ist. \(H_{1}\) bezeichnet die Gegenhypothese.
Nullhypothese \(H_0 \, \colon \, p \leq 0{,}3\)
zu überprüfender Ablehnungbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{5; ...; 10\}\)
Signifikanzniveau \(\alpha = 5\,\%\)
\[\begin{align*} P(\text{„Fehler 1. Art"}) &= P_{0{,}3}^{10}(X \in \overline{A}) \\[0.8em] &= P_{0{,}3}^{10}(X \geq 5)\end{align*}\]
Betrachten des Gegenereignisses:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)
Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:
\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]
Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.
\[P_{0{,}3}^{10}(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4 )\]
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:
\[F^{10}_{0{,}3} (4) = P^{10}_{0{,}3} (X \leq 4) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{4} B(10; 0{,}3; i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}84973\]
\[\begin{align*} P_{0{,}3}^{10}(X \geq 5) &= 1 - 0{,}84973 \\[0.8em] &= 0{,}14027 \approx 15,{0}\,\% \end{align*}\]
Mit 15 % liegt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art deutlich über der geforderten Obergrenze von 5 %. Folglich stützt das Ergebnis der Befragung nicht die Annahme des Skeptikers.