Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10}\) angegeben wird.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\[0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10}\]
Der Term ist das Ergebnis des folgenden mithilfe der Formel von Bernoulli erstellten Ansatzes:
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin{align*}&\overbrace{\underbrace{\binom{10}{10}}_{1} \cdot 0{,}2^{10} \cdot \underbrace{(1 - 0{,}2)^{10 - 10}}_{1}}^{\text{10 mal kein schnelles Internet}} + \overbrace{\underbrace{\binom{10}{0}}_{1} \cdot \underbrace{{0{,}2}^{0}}_{1} \cdot (1 - 0{,}2)^{10 - 0}}^{\text{10 mal schnelles Internet}} \\[0.8em] = \enspace &0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10} \end{align*}\]
Der Term formuliert die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: „Von den 10 angeschriebenen Haushalten verfügt entweder keiner oder all 10 über einen schnellen Internetanschluss."
Anmerkung:
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#89ba17}{\binom{n}{0}} = \frac{n!}{0! \cdot (n - 0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = \textcolor{#89ba17}{1}\]
\[\textcolor{#89ba17}{\binom{n}{k = n}} = \frac{n!}{n! \cdot (n - n)!} = \frac{n!}{n! \cdot 1} = \textcolor{#89ba17}{1}\]
