Es gibt Werte von \(b\), für die die Bigband bei vielfacher Durchführung des Spiels im Mittel pro CD die gleichen Einnahmen erwarten könnte wie beim Verkauf der CD. Geben Sie eine Gleichung an, mit der diese Werte von \(b\) berechnet werden könnten.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine CD zu gewinnen, wird mit \(p\) bezeichnet.
\(p = \dfrac{3}{4\pi^2}b^2 - \dfrac{3}{8\pi^3}b^3\) (vgl. Teilaufgabe 3a)
„Es gibt Werte von \(b\), für die die Bigband bei vielfacher Durchführung des Spiels im Mittel pro CD die gleichen Einnahmen erwarten könnte wie beim Verkauf der CD."
Zufallsgröße \(Y\) (wird eingeführt): Durch das Spiel pro CD generierte Einahmen der Bigband in Euro.
- Gewinnt ein Spieler eine CD, nimmt die Bigband den Einsatz in Höhe von 1 Euro ein.
- Verliert ein Spieler das Spiel und kauft deshalb eine CD, nimmt die Bigband den Einsatz von 1 Euro und den Kaufpreis der CD von 9 Euro ein, also 10 Euro.
Der Fall, dass ein Spieler verliert und keine CD kauft, ist nicht relevant, da die Einnahmen pro CD und nicht pro Spiel betrachtet werden.
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(Y\):
| \(Y = y_i\) | \(\textcolor{#cc071e}{1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{10}\) |
| \(P(Y = y_i)\) | \(\textcolor{#0087c1}{p}\) | \(\textcolor{#0087c1}{1 - p}\) |
„... im Mittel pro CD die gleichen Einnahmen erwarten könnte wie beim Verkauf der CD."
Bedeutet: Der Erwartungswert \(E(Y)\) der Einnahmen pro CD ist gleich dem Kaufpreis einer CD.
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P(X = x_i) \\[0.8em] &= x_{1} \cdot P(X = x_1) + x_{2} \cdot P(X = x_2) + \cdots + x_{n} \cdot P(X = x_n) \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\mu = E(X)\) gibt den Mittelwert einer Zufallsgröße \(X\) pro Versuch an, der bei sehr häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments (auf lange Sicht) zu erwarten ist.
\[\begin{align*} E(Y) &= 9 \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{1} \cdot \textcolor{#0087c1}{p} + \textcolor{#cc071e}{10} \cdot \textcolor{#0087c1}{(1 - p)} &= 9 \\[0.8em] p + 10 - 10p &= 9 &&| - 10 \\[0.8em] - 9p &= -1 &&| : (-9) \\[0.8em] p &= \frac{1}{9} \end{align*}\]
Somit ist \(\dfrac{3}{4\pi^2}b^2 - \dfrac{3}{8\pi^3}b^3 = \dfrac{1}{9}\) eine Gleichung, mit der die gesuchten Werte von \(b\) berechnet werden könnten.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.2.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße)
