Die als Kurvenlänge \(L_{a;b}\) bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von \(f\) zwischen den Punkten \((a|f(a))\) und \((b|f(b))\) mit \(a < b\) lässt sich mithilfe der Formel \(\displaystyle L_{a;b} = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} \, dx\) berechnen.
Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge \(L_{0;b}\) des Graphen von \(f\) zwischen den Punkten \((0|f(0))\) und \((b|f(b))\) mit \(b > 0\).
(Ergebnis: \(L_{0;b} = e^{\frac{1}{2}b} - e^{-\frac{1}{2}b}\))
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1h
Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion
\((a|f(a))\), \((b|f(b))\), \(a < b\)
\[L_{a;b} = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left[ f'(x) \right]^{2}} \, dx\]
Für die Kurvenlänge \(L_{0;b}\) des Graphen von \(f\) zwischen den Punkten \((0|f(0))\) und \((b|f(b))\) mit \(b > 0\) gilt gemäß der genannten Beziehung für \(L_{a;b}\) die folgende Integralfunktion:
Integralfunktion
Eine Funktion der Form \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\,dt\) mit einer festen unteren Integrationsgrenze \(a \in D_{f}\) und einer variablen oberen Integrationsgrenze heißt Integralfunktion von \(f\) zur unteren Grenze \(a\).
\[L_{0;b} = \int_{0}^{b} \sqrt{1 + \left[ f'(x) \right]^{2}} \, dx\]
Die Intergarlfunktion \(L_{0;b}\) lässt sich integralfrei in Abhängigkeit der variablen oberen Integrationsgrenze \(b\) formulieren. Hierfür wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \sqrt{1 + \left[ f'(x) \right]^{2}}\) mit \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right)\) (vgl. Teilaufgabe 1c) benötigt.
Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion
Es gilt:
\(\displaystyle I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F(x) - F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Die Aufgabenstellung weist ausdrücklich darauf hin, dass die Kurvenlänge \(L_{0;b}\) mithilfe der Beziehung aus Teilaufgabe 1g zu bestimmen ist. Der Hinweis verfolgt die Absicht, die Integrandenfunktion \(x \mapsto \sqrt{1 + \left[ f'(x) \right]^{2}}\) soweit zu vereinfachen, dass unter Berücksichtigung der abiturrelevanten Mathematikkenntnisse eine Stammfunktion der Integrandenfunktion gebildet werden kann.
Aus Teilaufgabe 1g ist bekannt:
\[\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\]
Durch Umformung der Beziehung aus Teilaufgabe 1g lässt sich der Term \(\left[ f'(x) \right]^{2}\) der Intergandenfunktion \(x \mapsto \sqrt{1 + \left[ f'(x) \right]^{2}}\) ersetzen, wodurch sich diese erheblich vereinfacht.
\[\begin{align*}\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} &= 1 & &| - 1 + \left[ f'(x) \right]^{2} \\[0.8em] \frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - 1 &= [f'(x)]^{2} \end{align*}\]
Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt: \(f(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R\)
\[\begin{align*} L_{0;b} &= \int_{0}^{b} \sqrt{1 + \left[ f'(x) \right]^{2}} \, dx & &| \; \left[ f'(x) \right]^{2} \; \text{ersetzen} \\[0.8em] &= \int_{0}^{b} \sqrt{1 + \frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - 1} \, dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{b} \sqrt{\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2}} \, dx & &| \; f(x) > 0 \\[0.8em] &= \int_{0}^{b} \frac{1}{2} \cdot f(x) \, dx \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{b} f(x) \, dx \end{align*}\]
Anmerkung:
Die Kenntnis von \(f(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R\) aus Teilaufgabe a ist wichtig, weil ohne diese Einschränkung \(\sqrt{\frac{1}{4}[f(x)]^{2}} = \frac{1}{2}\vert f(x) \vert \) wäre. Denn es gilt allgemein: \(\sqrt{a^{2}} = \vert a \vert; \; a \in \mathbb R\).
Alternative Umformung:
\[\begin{align*}\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} &= 1 & &| + \left[ f'(x) \right]^{2} \\[0.8em] \frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} &= 1 + [f'(x)]^{2} & &| \; \sqrt{(\dots)} \enspace (f(x) > 0) \\[0.8em] \frac{1}{2} \cdot f(x) &= \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} \end{align*}\]
\[\begin{align*} L_{0;b} &= \int_{0}^{b} \sqrt{1 + \left[ f'(x) \right]^{2}} \, dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{b} \frac{1}{2} \cdot f(x) \, dx \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{b} f(x) \, dx \end{align*}\]
Mit \(f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\) folgt:
\[L_{0;b} = \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{b} \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right) dx\]
Stammfunktion \(F(x)\) der Integrandenfunktion \(f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\) bilden:
Wichtige unbestimmte Integrale:
\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]
\[\int f(ax + b) dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\]
Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} F(x) &= \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot e^{\frac{1}{2}x} + \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + C \\[0.8em] &= 2e^{\frac{1}{2}x} - 2e^{-\frac{1}{2}x} + C \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right) + C \end{align*}\]
Damit ist \(F(x) = 2 \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right)\) für \(C = 0\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f(x)\).
Integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(L_{0;b}\) formulieren:
Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion
Es gilt:
\(\displaystyle I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F(x) - F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
\[\begin{align*}L_{0;b} &= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{b} \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right) dx \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ 2 \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right) \right]_{0}^{b} \\[0.8em] &= \left[ e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x}\right]_{0}^{b} \\[0.8em] &= e^{\frac{1}{2} \cdot \, b} - e^{-\frac{1}{2} \cdot \, b} - \left( e^{\frac{1}{2} \cdot \, 0} - e^{-\frac{1}{2} \cdot \, 0} \right) \\[0.8em] &= e^{\frac{1}{2}b} - e^{-\frac{1}{2}b} - 1 + 1 \\[0.8em] &= e^{\frac{1}{2}b} - e^{-\frac{1}{2}b} \end{align*}\]
Aternative:
Die Integralfunktion \(L_{0;b}\) lässt sich so darstellen, dass das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} \, dx = e^{f(x)} + C\) angewendet werden kann, um eine Stammfunktion der Integrandenfunktion zu bilden.
\[\begin{align*}L_{0;b} &= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{b} \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right) dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{b} \left( \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} + \frac{1}{2} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} \right) dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{b} \left[ \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} - \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x} \right] dx \end{align*}\]
Wichtiges unbestimmtes Integral:
\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)}dx = e^{f(x)} + C\]
(vgl. Merkhilfe)
\[F(x) = e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} + C\]
Damit ist \(F(x) = e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x}\) für \(C = 0\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} - \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x}\).
Integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(L_{0;b}\) formulieren:
Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion
Es gilt:
\(\displaystyle I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F(x) - F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
\[\begin{align*} L_{0;b} &= \int_{0}^{b} \left[ \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} - \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x} \right] dx \\[0.8em] &= \left[ e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right]_{0}^{b} \\[0.8em] &= e^{\frac{1}{2} \cdot \, b} - e^{-\frac{1}{2} \, \cdot b} - \left( e^{\frac{1}{2} \cdot \, 0} - e^{-\frac{1}{2} \cdot \, 0} \right) \\[0.8em] &= e^{\frac{1}{2}b} - e^{-\frac{1}{2}b} - 1 + 1 \\[0.8em] &= e^{\frac{1}{2}b} - e^{-\frac{1}{2}b} \end{align*}\]
