Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie die Länge der Strecke \([PQ]\). Zeigen Sie, dass das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig ist, und begründen Sie damit, dass die Strecke \([PQ]\) Durchmesser des Umkreises des Dreiecks \(PQR\) ist.

(zur Kontrolle: \(\overline{PQ} = 3\sqrt{2}\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Länge der Strecke \([PQ]\)

\(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\)

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}\overline{PQ} &= \vert \overrightarrow{PQ} \vert = \vert \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{P} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ -18 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -19 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{1^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\end{align*}\]

 

Nachweis, dass das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig ist

Das Dreieck \(PQR\) ist bei \(\textcolor{#cc071e}{R}\) rechtwinklig, wenn die Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RP}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RQ}}\) zueinander senkrecht sind. Dies ist dann der Fall, wenn das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren gleich null ist.

Skalarprodukt - Orthogonale Vektoren

Anwendung des Skalarprodukts:

Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]

\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RP} \circ \overrightarrow{RQ} = 0} \enspace \Leftrightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RP} \perp \overrightarrow{RQ}}\]

 

Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RP}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RQ}}\) berechnen:

\(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\), \(R(3|7|-17)\)

 

\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RP}} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{R} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -19 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -17 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}}\]

\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RQ}} = \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{R} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ -18 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -17 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}}\]

 

Prüfen, ob \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RP} \circ \overrightarrow{RQ} = 0}\) gilt:

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{RP} \circ \overrightarrow{RQ}} &= \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}} \\[0.8em] &= 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) \\[0.8em] &= 2 - 4 + 2 \\[0.8em] &\textcolor{#cc071e}{=} \textcolor{#cc071e}{0}\end{align*}\]

 

Also ist das Dreieck \(PQR\) bei \(\textcolor{#cc071e}{R}\) rechtwinklig.

 

Begründung, dass die Strecke \([PQ]\) Durchmesser des Umkreises des Dreiecks \(PQR\) ist

Satz des Thales

Satz des Thales

Liegt der Punkt \(C\) eines Dreiecks \(ABC\) auf einem Kreis mit dem Durchmesser \([AB]\), ist der Winkel bei Punkt \(C\) ein rechter Winkel.

Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der Hypotenuse.

Da das Dreieck \(RPQ\) bei \(\textcolor{#cc071e}{R}\) rechtwinklig ist, liegt \(R\) auf dem Thaleskreis über der Strecke \([PQ]\).

Dreieck PQR, Thaleskreis über der Strecke [PQ]Skizze optional