Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\), die nur die Werte \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\) annehmen kann.
| \(k\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(P(X = k)\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(0{,}2\) | \(0{,}15\) |
Die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 4)\) und \(P(X = 5)\) sowie der Erwartungswert und die Varianz von \(X\) sind bekannt. Aus diesen Informationen ergibt sich das folgende Gleichungssystem, mit dem die fehlenden Wahrscheinlichkeiten \(p_1\), \(p_2\) und \(p_3\) berechnet werden können.
\[\textsf{I} \enspace \; \; p_1+p_2+p_3=0{,}65\]
\[\textsf{II} \enspace \; p_1+2p_2+3p_3=1{,}45\]
\[\textsf{III} \; \, 4p_1+p_2=0{,}6\]
Ermitteln Sie, ohne das Gleichungssystem zu lösen, welche Werte für den Erwartungswert und die Varianz von \(X\) beim Aufstellen des Gleichungssystems verwendet worden sind.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\[E(X) = p_1 + 2p_2 + 3p_3 + 4 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}15\]
\[\textsf{II} \enspace \; p_1+2p_2+3p_3=1{,}45\]
\[\Rightarrow \; E(X) = 1{,}45 + 4 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}15 = 3\]
\[\begin{align*}Var(X) &= (1-3)^2 \cdot p_1 + (2-3)^2 \cdot p_2 + (3-3)^2 \cdot p_3 + (4-3)^2 \cdot 0{,}2 + (5 - 3)^2 \cdot 0{,}15 \\[0.8em] &= 4p_1 +p_2 + 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}15\end{align*}\]
\[\textsf{III} \; \, 4p_1+p_2=0{,}6\]
\[\Rightarrow \; Var(X) = 0{,}6 + 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}15 = 1{,}4\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Das Gleichungssystem soll ausdrücklich nicht gelöst werden. Zunächst ist zu überlegen, welche der drei Gleichungen sich auf den Erwartungswert bezieht, da dieser in die Berechnung der Varianz eingeht.
\[\textsf{I} \enspace \; \; p_1+p_2+p_3=0{,}65\]
Gleichung I bildet offensichtlich die Summe der Wahrscheinlichkeiten und resultiert aus der Bedingung \(\sum P(X = k) = 1\) (Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Werte einer Zufallsgröße ist eins.). Die Gleichung ist somit bezüglich des verwendeten Erwartungswerts und des für die Varianz verwendeten Werts nicht von Bedeutung.
\[\textsf{II} \enspace \; \textcolor{#cc071e}{p_1}+\textcolor{#cc071e}{2p_2}+\textcolor{#cc071e}{3p_3}=1{,}45\]
| \(k\) | \(\textcolor{#cc071e}{1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{2}\) | \(\textcolor{#cc071e}{3}\) | \(4\) | \(5\) |
| \(P(X = k)\) | \(\textcolor{#cc071e}{p_1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{p_2}\) | \(\textcolor{#cc071e}{p_3}\) | \(0{,}2\) | \(0{,}15\) |
Der Term \(\textcolor{#cc071e}{p_1}+\textcolor{#cc071e}{2p_2}+\textcolor{#cc071e}{3p_3}\) von Gleichung II formuliert die Summe der ersten drei Produkte aus dem Wert der Zufallsgröße und dessen zugehöriger Wahrscheinlichkeit. Dies entspricht der Vorgehensweise bei der Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\).
Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich der Erwartungswert von \(X\) wie folgt beschreiben:
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*} E(X) &= \textcolor{#cc071e}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{p_1} + \textcolor{#cc071e}{2} \cdot \textcolor{#cc071e}{p_2} + \textcolor{#cc071e}{3} \cdot \textcolor{#cc071e}{p_3} + 4 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}15 \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{p_1}+\textcolor{#cc071e}{2p_2}+\textcolor{#cc071e}{3p_3} + 4 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}15 \end{align*}\]
Nach Gleichung II gilt: \(\textcolor{#cc071e}{p_1}+\textcolor{#cc071e}{2p_2}+\textcolor{#cc071e}{3p_3}=\textcolor{#cc071e}{1{,}45}\).
Und somit:
\[E(X) =\textcolor{#cc071e}{1{,}45} + 4 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}15 = 3\]
Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung und dem Erwartungswert \(E(X) = \textcolor{#0087c1}{3}\) wird die Varianz der Zufallsgröße \(X\) beschrieben und anschließend mit Gleichung III verglichen.
| \(k\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(P(X = k)\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(0{,}2\) | \(0{,}15\) |
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\begin{align*}Var(X) \enspace = \quad &\sum \limits_{i\;=\;1}^{n} (x_{i} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{i}) \\[0.8em] \enspace = \quad &(x_{1} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{1}) + (x_{2} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{2}) + \dots \\[0.8em] + \; &(x_n - \mu)^2 \cdot P(X = x_n)\end{align*}\]
Die Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\) einer Zufallsgröße \(X\) ist eine Maßzahl für die Streuung der Werte \(x_{i}\) der Zufallsgröße um den Erwartungswert \(\mu\).
\[\begin{align*}Var(X) &= (1 - \textcolor{#0087c1}{3})^2 \cdot p_1 + (2 - \textcolor{#0087c1}{3})^2 \cdot p_2 + (3 - \textcolor{#0087c1}{3})^3 \cdot p_3 + (4 - \textcolor{#0087c1}{3})^2 \cdot 0{,}2 + (5 - \textcolor{#0087c1}{3})^2 \cdot 0{,}15 \\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{4p_1} +\textcolor{#e9b509}{p_2} + 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}15\end{align*}\]
Nach Gleichung III gilt: \(\textcolor{#e9b509}{4p_1} +\textcolor{#e9b509}{p_2}= \textcolor{#e9b509}{0{,}6}\).
Und somit:
\[Var(X) = \textcolor{#e9b509}{0{,}6} + 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}15 = 1{,}4\]
