Aus den 200 Jugendlichen wird eine Person zufällig ausgewählt, die ein Fernsehgerät besitzt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person weiblich ist.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Ereignisse:

\(M\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Mädchen."

\(J\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Junge."

\(F\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät."

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.

Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[P_{F}(M) = \frac{P(F \cap M)}{P(F)}\]

 

Die Tabelle informiert über die Anzahl der Mädchen und über die Anzahl der Jungen, die ein Fernsehgerät besitzen.

\[\vert F \cap M \vert = 54\]

\[\vert F \cap J \vert = 65\]

 

\[\begin{align*} P_{F}(M) &= \frac{P(F \cap M)}{P(F)} \\[0.8em] &= \frac{\frac{\vert F\, \cap\, M \vert}{\vert \Omega \vert}}{\frac{\vert F \vert}{\vert \Omega \vert}} \\[0.8em] &= \frac{\vert F \cap M \vert}{\vert F \vert} & &| \; \vert F \vert = \vert F \cap M \vert + \vert F \cap J \vert \\[0.8em] &= \frac{\vert F \cap M \vert}{\vert F \cap M \vert + \vert F \cap J \vert} \\[0.8em] &= \frac{54}{54 + 65} \\[0.8em] &\approx 0{,}4538 = 45{,}38\,\%\end{align*}\]