Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx\,\).

Warum stimmt der Wert dieses Integrals nicht mit dem Inhalt der Fläche überein, die für \(0 \leq x \leq 2\) zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse liegt?

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\[f(x) = \sin(2x)\,; \enspace D_f = \mathbb R\]

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\int_0^2 f(x)\,dx = [F(x)]_0^2\]

Wichtige unbestimmte Integrale

Wichtige unbestimmte Integrale:

\[\int f(ax + b)\;dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\]

Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

\[\int \sin x\;dx = -\cos x + C\]

(vgl. Merkhilfe)

Stammfunktion \(F(x)\) bestimmen:

 

\[f(ax + b) = \sin(2x) \quad \Longrightarrow \quad ax + b = 2x \quad \Longrightarrow \quad a = 2\,, \enspace b = 0\]

 

\[f(x) = \sin(2x) \quad \Longrightarrow \quad F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C\]

 

Bestimmtes Integral berechnen:

 

\[\begin{align*} \int_0^2 f(x)\,dx &= \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_0^2 \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 2) - \left( -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) \right) \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}\cos(4) + \frac{1}{2}\underbrace{\cos(0)}_{1} \\[0.8em] &= \frac{1}{2}\Big(1 - \cos(4)\Big) \\[0.8em] &\approx 0{,}83 \end{align*}\]

 

Flächeninhalte, die der Graph von f im Intervall [0;2] mit der x-Achse einschließt.

 

Das bestimmte Integral \(\int_0^2 f(x)\,dx\) errechnet die Flächenbilanz der Flächeninhalte, die der Graph von \(f\) im Intervall \([0;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Dabei zählt es Flächeninhalte oberhalb der \(x\)-Achse positiv und Flächeninhalte untehalb der \(x\)-Achse negativ.

Die Funktion \(f\) besitzt im Intervall \([0;2]\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Im Intervall \([0;\frac{\pi}{2}[\) verläuft \(G_f\) oberhalb, im Intervall \(]\frac{\pi}{2};2]\) verläuft \(G_f\) unterhalb der \(x\)-Achse. Das Ergebnis des Integrals \(\int_0^2 f(x)\,dx\) ist folglich die Differenz der Flächeninhalte, die der Graph von \(f\) im Intervall \([0;\frac{\pi}{2}[\) sowie im Intervall \(]\frac{\pi}{2};2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

In die Berechnung des Flächeninhalts \(A\,\), den der Graph von \(f\) im Intervall \([0;2]\) mit \(x\)-Achse einschließt, muss der Wert des Integrals \(\int_{\frac{\pi}{2}}^2 f(x)\,dx\) positiv eingehen:

 

Ergänzung (nicht Teil der Prüfung!):

Flächeninhalt der Fläche, die für \(0 \leq x \leq 2\) zwischen dem Graphen von \(f\) un der \(x\)-Achse liegt

Die nachfolgende Berechnung des Flächeninhalts ist nicht Teil der Prüfung. Sie soll lediglich dem besseren Verständnis dienen.

 

\[\begin{align*} A &= A_1 + A_2 \\[0.8em] &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx + \left|\, \int_{\frac{\pi}{2}}^2 f(x)\,dx\, \right| \\[0.8em] &= \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \left| \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{\frac{\pi}{2}}^2 \right| \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \left( -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) \right) + \left| \, -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 2) - \left( -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) \right) \right| \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} \underbrace{\cos(\pi)}_{-1} + \frac{1}{2} \underbrace{\cos(0)}_{1} + \left| \, -\frac{1}{2}\cos(4) + \frac{1}{2} \underbrace{\cos(\pi)}_{-1} \, \right| \\[0.8em] &\approx 1 + \vert -0{,}17 \vert \\[0.8em] &= 1{,}17 \end{align*}\]