Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert von n, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als 1 % ist.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4b
\[\frac{6!}{6^6} \approx 0{,}01543 \approx 1{,}5\,\%;\enspace \frac{7!}{7^7} \approx 0{,}00612 \approx 0{,}6\,\%\]
\(\Rightarrow n = 7 \) ist der kleinstmögliche Wert, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als 1 % ist.
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Das Glücksrad mit n gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 0 bis \(n - 1\) durchnummeriert sind, wird n-mal gedreht (vgl. Angabe).
Dann gibt es insgesamt \(\boldsymbol{n^n}\) mögliche Ergebnisse (Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge), die alle gleichwahrscheinlich sind (Laplace-Experiment).
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.
\[n^{k}\]
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten
- nicht abiturrelevant -
\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)
Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.
Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).
Beispiel:
Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?
\(n = 30\)
\(k = 8\)
Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.
Es gibt \(\boldsymbol{n!}\) Möglichkeiten dafür, dass alle Zahlen verschieden sind (Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge).
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Drehungen alle Zahlen verschieden sind, ergibt sich somit zu:
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
\[P(\text{„alle Zahlen verschieden"}) = \frac{n!}{n^n}\]
Diese Wahrscheinlichkeit soll kleiner als 1 % sein.
\[\frac{n!}{n^n} < 0{,}01\]
Nun ist diese Ungleichung im Rahmen der abiturrelevanten Mathematikkenntnisse nicht lösbar, sodass hier nur Probieren hilft.
Für \(n = 6\) ergibt sich:
\[\frac{6!}{6^6} \approx 0{,}01543 \approx 1{,}5\,\% \textcolor{#cc071e}{> 1\,\%}\]
Für \(n = 7\) ergibt sich:
\[\frac{7!}{7^7} \approx 0{,}00612 \approx 0{,}6\,\% \textcolor{#89ba17}{< 1\,\%}\]
Folglich ist \(n = 7 \) der kleinstmögliche Wert, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als 1 % ist.
