Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto x \cdot \ln{(x^{2})}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{h}\).
Geben Sie \(D_{h}\) an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion \(h'\) gilt: \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\).
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[h(x) = x \cdot \ln{(x^{2})}\]
Maximaler Definitionsbereich \(D_{h}\)
\[D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Begründung (nicht verlangt)
Maximale Definitionsmenge bestimmen
Gebrochenrationale Funktion / Quotient von Funktionen
\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]
Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!
Wurzelfunktion
\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]
Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!
(natürliche) Logarithmusfunktion
\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) bzw. \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!
\[h(x) = x \cdot \ln{(\underbrace{x^{2}}_{\large{>\,0}})}\]
Der Faktor \(\ln{(x^{2})}\) schränkt den Definitionsbereich von \(h\) ein. Die natürliche Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert. Es gilt \(x^{2} > 0\) für \(x \in \mathbb R \backslash \{0\}\), woraus \(D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\) folgt.
Nachweis der Ableitungsfunktion \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\)
Der Nachweis erfolgt mithilfe der Produktregel, der Kettenregel, der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion sowie der Ableitung einer Potenzfunktion.
\[h(x) = \textcolor{#0087c1}{x} \cdot \textcolor{#cc071e}{\ln{(x^{2})}}; \; D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*} h'(x) &= \underbrace{\textcolor{#0087c1}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{\ln{(x^{2})}} + \textcolor{#0087c1}{x} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{x^{2}} \cdot 2x}}^{\large{\text{Kettenregel}}}}_{\large{\text{Produktregel}}} \\[0.8em] &= \ln{(x^{2})} + \frac{2\cancel{x^{2}}}{\cancel{x^{2}}} &&| \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= \ln{(x^{2})} + 2 \end{align*}\]
