Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4b
\[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}\]
Die Tangente an \(G_{f_a}\) im Punkt \((0|f_a (0))\) hat
- (I) eine positive Tangentensteigung und
- (II) eine Nullstelle \(\textcolor{#0087c1}{x > \dfrac{1}{2}}\)
Bedingung (I)
Die Tangente hat eine positive Tangentensteigung, wenn \(\textcolor{#cc071e}{f'_{a}(x) > 0}\) ist.
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\(f'_a(x) = -a \cdot e^{-x}\) (vgl. Teilaufgabe 4a)
\[\textcolor{#cc071e}{f'_{a}(x) > 0} \enspace \Leftrightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{-a \cdot \underbrace{e^{-x}}_{>\,0} > 0} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{a < 0}\]
(Skizze nicht verlangt)
Bedingung (II)
Zunächst ist die Lage der Nullstelle in Abhängigkeit des Parameters \(a\) zu ermitteln. Hierfür muss die Gleichung der Tangente \(T\) formuliert werden.
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T \colon y = mx + t\]
Steigung \(m\) der Tangente im Punkt \((\textcolor{#e9b509}{0}|f_a(0))\):
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\(m = f'_{a}(\textcolor{#e9b509}{0}) = -a\) (vgl. Teilaufgabe 4a)
Da der Punkt \((0|f_a(0))\) auf der \(y\)-Achse liegt, ergibt sich der \(y\)-Achsenabschnitt zu \(t = f_a(0)\).
\[f_a(0) = a \cdot e^{0} + 3 = a + 3\]
\[\Rightarrow \enspace T \colon y = -a \cdot x + a + 3\]
Lage der Nullstelle in Abhängigkeit des Paramers \(a\) bestimmen:
\[\begin{align*}0 &= -a \cdot x + a + 3 &&| + a \cdot x \\[0.8em] a \cdot x &= a + 3 &&| : a \\[0.8em] x &= \frac{a + 3}{a} \end{align*}\]
Bedingung (II) formulieren: Nullstelle \(\textcolor{#0087c1}{x > \dfrac{1}{2}}\)
\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{\frac{a + 3}{a}} &\textcolor{#0087c1}{>} \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2}} &&| \cdot a \; \text{mit} \; \textcolor{#cc071e}{a < 0}\; \text{(vgl. Bedingung (I))} \\[0.8em] a + 3 &\textcolor{#cc071e}{<} \frac{1}{2}a &&| -\frac{1}{2}a - 3 \\[0.8em] \frac{1}{2}a &< -3 &&| \cdot 2 \\[0.8em] a &< -6 \end{align*}\]
Für \(a < -6\) hat die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a(0))\) eine positive Steigung und schneidet die \(x\)-Achse in einem Punkt, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist.
