Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens 10 % größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[1{,}1 \cdot \mu = 1{,}1 \cdot 50 \cdot 0{,}15 = 8{,}25\]
\[P_{0{,}15}^{50}(X \geq 9) = 1 - P_{0{,}15}^{50}(X \leq 8) = 0{,}3319 \approx 33\,\%\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Radausflügler unter 50 zufällig ausgewählten Touristen des Naturparks.
Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt nach \(B(\textcolor{#0087c1}{50};\textcolor{#cc071e}{0{,}15})\) (vgl. Teilaufgabe 1a)
„... Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens 10 % größer ist als der Erwartungswert ..."
Zu ermitteln ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}15}}^{\textcolor{#0087c1}{50}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 1{,}1 \cdot \mu})\).
\(1{,}1 \cdot \mu\) bedeutet 110 % des Erwartungswerts.
Kenngrößen einer \(\boldsymbol{B(n;p)}\)-verteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
Erwartungswert
\[\mu = E(X) = n \cdot p \vphantom{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}}\]
Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\)
\[\sigma^2 = Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \vphantom{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}}\]
Standardabweichung
\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.
\[1{,}1 \cdot \mu = 1{,}1 \cdot \textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#cc071e}{p} = 1{,}1 \cdot \textcolor{#0087c1}{50} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}15} = 8{,}25\]
\[\begin{align*}P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}15}}^{\textcolor{#0087c1}{50}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 1{,}1 \cdot \mu}) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}15}}^{\textcolor{#0087c1}{50}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 8{,}25}) &&|\; \text{Aufrunden, da} \; X \in \mathbb N_0 \; \text{(Anzahl der Radausflügler ...)} \\[0.8em] &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}15}}^{\textcolor{#0087c1}{50}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 9}) && \textcolor{#e9b509}{\text{„mindestens 9"}}\end{align*}\]
Die Wahrscheinlichkeit \(P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}15}}^{\textcolor{#0087c1}{50}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 9})\) dafür, dass mindestens 9 von 50 Touristen Radausflügler sind, lässt sich durch die Betrachtung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses „... höchstens 8 ..." auf die kumulative Verteilungsfunktion (von \(0\) bis \(k\) aufsummierte Einzelwahrscheinlichkeiten) zurückführen. Diese ist im Tafelwerk (TW) in der rechten Spalte tabellarisiert.
Wahrscheinlichkeiten für „genau \(k\) Treffer" und „höchstens \(k\) Treffer" lassen sich mit dem wissenschaftlichen Taschenrechner (WTR) berechnen und sind für bestimmte Werte der Parameter \(n\) und \(p\) im Tafelwerk (TW) tabellarisiert. Wahrscheinlichkeiten für „mindestens \(k\) Treffer" und „mindestens \(k\) und höchstens \(m\) Treffer müssen auf die kumulative Verteilungsfunktion (aufsummierte Einzelwahrscheinlichkeiten) zurückgeführt werden.
genau \(\boldsymbol{k}\) Treffer
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n \,-\, k}\]
Beispiel: \(n = 10\); \(p = 0{,}6\); \(k = 5\)
\[\textcolor{#89ba17}{P_{0{,}6}^{10}(X = 5)} = B(10;0{,}6;5) = \textcolor{#89ba17}{0{,}20066}\;\text{(WTR/TW)}\]
oder
\begin{align*}\textcolor{#89ba17}{P_{0{,}6}^{10}(X = 5)} &= \binom{10}{5} \cdot 0{,}6^{5} \cdot (1 - 0{,}6)^{10\, -\, 5} \\ &= \textcolor{#89ba17}{0{,}20066} \end{align*}
höchstens \(\boldsymbol{k}\) Treffer
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{F_p^n(k)} = \textcolor{#cc071e}{P_{p}^{n}(X \leq k)} =\quad \, &\textcolor{#cc071e}{\sum \limits_{i \,=\, 0}^{k} B(n;p;i)} \\[0.8em] = \quad \,&\textcolor{#89ba17}{P_{p}^{n}(X = 0)} \\[0.8em] +\, &\textcolor{#89ba17}{P_{p}^{n}(X = 1)}\\[0.8em] \;\;\;&\vdots \\[0.8em]+\, &\textcolor{#89ba17}{P_{p}^{n}(X = k)}\end{align*}\]
Beispiel: \(n = 10\); \(p = 0{,}6\); \(k = 5\)
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{F_{0{,}6}^{10}(5)} = \textcolor{#cc071e}{P_{0{,}6}^{10}(X \leq 5)} &\;\,\,= \textcolor{#cc071e}{\sum \limits_{i \,=\, 0}^{5} B(10;0{,}6;i)} \\[0.8em] &\;\,\,= \textcolor{#cc071e}{0{,}36690}\;\text{(WTR/TW)} \end{align*}\]
weniger als \(\boldsymbol{k}\) Treffer
Entspricht der Berechnung einer Wahrscheinlichkeit für „höchstens \(k - 1\) Treffer": \(P(X < k) = P(X \leq k -1)\)
mindestens \(\boldsymbol{k}\) Treffer
\[\underbrace{\textcolor{#89ba17}{P_{p}^{n}(X \geq k)}}_{\textcolor{#89ba17}{\large{\text{mindestens}\,k}}} = \underbrace{1 - \underbrace{\textcolor{#cc071e}{P_{p}^{n}(X \leq k - 1)}}_{\textcolor{#cc071e}{\large{\text{höchstens}\,k \,-\,1}}}}_{\large{\text{nicht höchstens}\,k\,-\,1}}\]
Beispiel: \(n = 10\); \(p = 0{,}6\); \(k = 6\)
\[\begin{align*}\textcolor{#89ba17}{P_{0{,}6}^{10}(X \geq 6)} &= 1 - \textcolor{#cc071e}{P_{0{,}6}^{10}(X \leq 5)} \\[0.8em]&= 1 - \textcolor{#cc071e}{\sum \limits_{i \,=\, 0}^{5}B(10;0{,}6;i)} \\[0.8em]&= 1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}36690}\;\text{(WTR/TW)} \\[0.8em] &= \textcolor{#89ba17}{0{,}63310} \end{align*}\]
Veranschaulichung am „Zahlenstrahl":
Mehr als \(\boldsymbol{k}\) Treffer
Entspricht der Berechnung einer Wahrscheinlichkeit für „mindestens \(k + 1\) Treffer": \(P(X > k) = P(X \geq k + 1)\).
mindestens \(\boldsymbol{k}\) und höchstens \(\boldsymbol{m}\) Treffer
\[\underbrace{\textcolor{#89ba17}{P_{p}^{n}(k \leq X \leq m)}}_{\textcolor{#89ba17}{\large{\text{mind.}\,k\,\text{u. höchstens}\,m}}} = \underbrace{\textcolor{#0087c1}{P_{p}^{n}(X \leq m)}}_{\textcolor{#0087c1}{\large{\text{höchstens}\,m}}} - \underbrace{\textcolor{#cc071e}{P_{p}^{n}(X \leq k - 1)}}_{\textcolor{#cc071e}{\large{\text{höchstens}\,k\,-\,1}}}\]
Beispiel: \(n = 10\); \(p = 0{,}6\); \(k = 5\); \(m = 8\)
\[\begin{align*} \textcolor{#89ba17}{P_{0{,}6}^{10}(5 \leq X \leq 8)} &= \textcolor{#0087c1}{P_{0{,}6}^{10}(X \leq 8)} - \textcolor{#cc071e}{P_{0{,}6}^{10}(X \leq 4)} \\[0.8em]&= \textcolor{#0087c1}{\sum \limits_{i\, =\, 0}^{8}B(10;0{,}6;i)} - \textcolor{#cc071e}{\sum \limits_{i \,=\, 0}^{4}B(10;0{,}6;i)} \\[0.8em]&= \textcolor{#0087c1}{0{,}95364} - \textcolor{#cc071e}{0{,}16624}\;\text{(WTR/TW)} \\[0.8em]&=\textcolor{#89ba17}{0{,}78740} \end{align*}\]
Veranschaulichung am „Zahlenstrahl":
\[\begin{align*}P(B) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}15}}^{\textcolor{#0087c1}{50}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 9}) && \textcolor{#e9b509}{\text{„mindestens 9"}} \\[0.8em] &= 1 - P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}15}}^{\textcolor{#0087c1}{50}}(\textcolor{#e9b509}{X \leq 8}) && \text{nicht} \; \textcolor{#e9b509}{\text{„höchstens 8"}} \\[0.8em] &= 1 - \sum \limits_{i \,= \, \textcolor{#e9b509}{0}}^{k\,=\, \textcolor{#e9b509}{8}} B(\textcolor{#0087c1}{50};\textcolor{#cc071e}{0{,}15};i) && \text{TW, rechte Spalte} \\[0.8em] &\hspace{-4px}\overset{\text{TW}}{=} 1 - 0{,}66810 \\[0.8em] &= 0{,}3319 \approx 33\,\%\end{align*}\]
