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1.1.5 Betragsfunktion - Abiturskript

Abiturskript Mathematik Bayern

Mit vielen Beispielen, ausführlichen Lösungen und zahlreichen erklärenden Grafiken

 

Die Funktion \(\vert f(x) \vert\) wird als Betragsfunktion der Funktion \(f(x)\) bezeichnet. Betragsfunktionen können abschnittsweise beschrieben werden.

Definitionsmenge: \(D_{\vert f \vert} = D_{f}\)

Wertemenge \(W_{\vert f \vert}\): Der Betrag aller Elemente der Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\)

 

Beispiel: \(f(x) = x\)

\[\vert f(x) \vert = \vert x \vert = \begin{cases} \hspace{13px}x &\text{für} \quad x \geq 0 \\[0.8em] -x &\text{für} \quad x < 0 \end{cases}\]

\[D_{\vert f \vert} = R\,, \enspace W_{\vert f \vert} = R_{0}^{+}\]

 

Funktionsgraph einer Betragsfunktion

Der Graph der Betragsfunktion \(\vert f(x) \vert\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f(x)\), indem alle unterhalb der \(x\)-Achse verlaufenden Teile des Graphen an der \(x\)-Achse gespiegelt werden und die oberhalb der \(x\)-Achse verlaufenden Teile des Graphen beibehalten werden.

 

Graphen der Betragsfunktionen |f(x)/| = |x| und |g(x)| = |¼x² -  4|

Graphen der Betragsfunktionen \(\vert f(x) \vert = \vert x \vert\) und \(\vert g(x) \vert = \vert \dfrac{1}{4}x^{2} - 4\vert\)

 

Differenzierbarkeit einer Betragsfunktion

Die Betragsfunktion \(\vert f(x) \vert\) einer in \(D_{f}\) differenzierbaren Funktion \(f\) ist an den einfachen Nullstellen der Funktion \(f\) („Knickstellen" des Graphen der Betragsfunktion) nicht differenzierbar (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit).

 

Graph der Betragsfunktion |f(x)| = |x|

Die Betragsfunktion \(\vert f(x) \vert\) ist an der einfachen Nullstelle \(x = 0\) der Funktion \(f\colon x \mapsto x\) nicht differenzierbar (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit).

 

Betragsfunktion |g(x)| = |x³|

Die Betragsfunktion \(\vert g(x)\vert\) ist an der dreifachen Nullstelle \(x = 0\) der Funktion \(g\colon x \mapsto x^{3}\) differenzierbar (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit).

 

Betragsgleichungen

Im Rahmen der abiturrelevanten Mathematik beschränkt sich dieser Abschnitt auf die Betrachtung einfacher linearer Betragsgleichungen.

Beispielsweise führt das Lösen einer reinquadratischen Gleichung der Form \(x^{2} - c = 0\) mit \(c \in \mathbb R_{0}^{+}\) auf eine lineare Betragsgleichung.

Aus der Schulmathematik ist folgende Kurzschreibweise bekannt:

 

\[\begin{align*}x^{2} - c &= 0 &&| + c \\[0.8em] x^{2} &= c &&| \; \sqrt{\quad} \enspace (c \in \mathbb R_{0}^{+}) \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{c}\end{align*}\]

 

Da eine Wurzel mit Ausnahme von \(\sqrt{0} = 0\) immer ein positives Ergebnis liefert (vgl. Abiturskript - 1.1.4 Wurzelfunktion, Wertebereich), gilt \(\sqrt{x^{2}} = \vert x \vert\) und somit lautet die ausführliche Schreibweise:

 

\[\begin{align*}x^{2} - c &= 0 &&| + c \\[0.8em] x^{2} &= c &&| \; \sqrt{\quad} \enspace (c \in \mathbb R_{0}^{+}) \\[0.8em] \sqrt{x^{2}} &= \sqrt{c} \\[0.8em] \vert x \vert &= \sqrt{c}\end{align*}\]

 

Mit \(\vert x \vert = \begin{cases} \hspace{13px}x &\text{für} \quad x \geq 0 \\[0.8em] -x &\text{für} \quad x < 0 \end{cases}\) ergibt sich folgende Fallunterscheidung:

 

1. Fall: \(x \geq 0\)

Für \(x \geq 0\) können die Betragsstriche von \(\vert x \vert\) entfallen.

 

\[\Rightarrow \enspace x = \sqrt{c}\]

 

2. Fall: \(x < 0\)

Für \(x < 0\) ersetzt \(-x\) den Term \(\vert x \vert\).

 

\[\begin{align*}\Rightarrow \enspace -x &= \sqrt{c} &&| \cdot (-1) \\[0.8em] x &= -\sqrt{c}\end{align*}\]

 

Also lauten die Lösungen \(x_{1} = -\sqrt{c}\) und \(x_{2} = +\sqrt{c}\).

 

Analog lassen sich durch eine derartige Fallunterscheidung lineare Betragsgleichungen der Form \(\vert ax + b \vert = c\) mit \(a \neq 0\) und \(b,c \in \mathbb R\) lösen.

 

\[\vert ax + b \vert = \begin{cases} \hspace{18px}ax + b &\text{für} \quad x \geq 0 \\[0.8em] -(ax + b) &\text{für} \quad x < 0 \end{cases}\]

 

1. Fall: \(ax + b \textcolor{#0087c1}{\geq} 0\)

Die Betragsstriche des Terms \(\vert ax + b \vert\) können entfallen.

Es ist die Gleichung \(ax + b = c\) zu lösen.

 

2. Fall: \(ax +b \textcolor{#cc071e}{<} 0\)

Die Vorzeichenänderung \(\textcolor{#cc071e}{-(}ax + b\textcolor{#cc071e}{)}\) ersetzt den Betrag des Terms \(\vert ax + b \vert\).

Es ist die Gleichung \(-(ax + b) = c\) zu lösen.

 

Beispiel: \(\vert -3x + 2 \vert = 4\)

 

\[\vert -3x + 2 \vert = \begin{cases} \hspace{18px}-3x + 2 &\text{für} \quad x \geq 0 \\[0.8em] -(-3x + 2) &\text{für} \quad x < 0 \end{cases}\]

 

1. Fall: \(-3x + 2 \textcolor{#0087c1}{\geq} 0\)

Die Betragsstriche des Terms \(\vert -3x + 2 \vert\) können entfallen.

Es ist die Gleichung \(-3x + 2 = 4\) zu lösen.

 

\[\begin{align*} -3x + 2 &= 4 &&| -2 \\[0.8em] -3x &= 2 &&| : (-3) \\[0.8em] x &= -\frac{2}{3} \end{align*}\]

 

2. Fall: \(-3x + 2 \textcolor{#cc071e}{<} 0\)

Die Vorzeichenänderung \(\textcolor{#cc071e}{-(}-3x + 2\textcolor{#cc071e}{)}\) ersetzt den Betrag des Terms \(\vert -3x + 2 \vert\).

Es ist die Gleichung \(-(-3x + 2) = 4\) zu lösen.

 

\[\begin{align*} -(-3x + 2) &= 4 \\[0.8em] 3x - 2 &= 4 &&| + 2 \\[0.8em] 3x &= 6 &&| : 3 \\[0.8em] x &= 2 \end{align*}\]

 

Die lineare Betragsgleichung \(\vert -3x + 2 \vert = 4\) hat also die Lösungen \(x_{1} = -\frac{2}{3}\) und \(x_{2} = 2\).

 

Graphische Lösung der linearen Betragsgleichung |-3x + 2| = 4

 Graphische Lösung der linearen Betragsgleichung \(\vert -3x + 2\vert = \textcolor{#89ba17}{4}\)

 

Beispielaufgabe

Geben Sie den Funktionsterm einer in \(\mathbb R\) definierten und an den Stellen \(x = -2\) sowie \(x = 2\) nicht differenzierbaren Funktion \(f\) an.

 

\[g(x) = (x - 2)(x + 2) = x^{2} + 4\,; \enspace D = \mathbb R\]

 

Die Funktion \(g\) besitzt die beiden einfachen Nullstellen \(x = -2\) und \(x = 2\). Die Betragsfunktion der Funktion \(g\) ist an den einfachen Nullstellen der Funktion \(g\) („Knickstellen" des Graphen der Betragsfunktion) nicht differenzierbar (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit).

 

\[\Longrightarrow \quad f(x) = \vert g(x) \vert = \vert x^{2} - 4 \vert\,; \enspace D = \mathbb R\,, \enspace W = \mathbb R_{0}^{+}\]

 

Graph der Betragsfunktion f:x ↦ |x² - 4|

Graph der Betragsfunktion \(f\colon x \mapsto \vert x^{2} - 4 \vert\)