Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\(F\) ist im Intervall \([1;3]\) streng monoton fallend.

 

Begründung

Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

Für \(1 \leq x \leq 3\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb der \(x\)-Achse und es gilt \(F'(x) = f(x) < 0 \).

Graph einer Funktion fAbb. 2

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Gemäß dem Monotoniekriteriem ist somit \(F\) im gegebenen Intervall streng monoton fallend.