Berechnen Sie unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formulieren Sie das Ergebnis Ihres Vergleichs im Sachzusammenhang.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Annahme: Das exponentielle Wachstum setzt sich nach 1985 in gleicher Weise fort wie im Zeitraum von 1960 bis 1985 (vgl. Angabe).
Berechnung des jährlichen Durchschnittswerts für das Jahr 2010
Exponentielles Wachstum und exponentielle(s) Abnahme (Abklingen)
Exponentielle(s) Wachstum (Abnahme) tritt auf, wenn ein Anfangsbestand \(B(0)\) in gleichen Zeitschritten \(t\) um einen konstanten Faktor \(a\) zunimmt (abnimmt).
\(B(t) = B(0) \cdot a^t\) mit \(a = \dfrac{B(t + 1)}{t}\)
Jede Exponentialfunktion \(f\) mit \(f(t) = a^t\; (a \in \mathbb R^+ \backslash \{1\})\) kann mit der Basis \(e\) geschrieben werden:
\(f(t) = a^t = \left(e^{\ln{a}}\right)^t = e^{\ln{a} \cdot t} = e^{k \cdot t}\) mit \(k = \ln{a}\)
| Exponentielle Wachstumstumsfunktion | Exponentielle Abklingfunktion | ||
| \(f(t) = b \cdot a^t\) mit \(a = 1+p\) | \(a > 1\) | \(f(t) = b \cdot a^t\) mit \(a = 1-p\) | \(0 < a < 1\) |
| \(f(t) = b \cdot e^{k \cdot t}\) mit \(k = \ln{a}\) | \(k > 0\) | \(f(t) = b \cdot e^{k \cdot t}\) mit \(k = \ln{a}\) | \(k < 0\) |
| \(b\): Anfangswert zum Zeitpunkt \(t = 0\) (Beobachtungsbeginn) | \(b\): Anfangswert zum Zeitpunkt \(t = 0\) (Beobachtungsbeginn) | ||
| \(a\): Wachstumsfaktor | \(a\): Ablingfaktor (Wachstumsfaktor)* | ||
| \(p\): prozentuale Zunahme (Wachstumsrate) | \(p\): prozentuale Abnahme (Wachstumsrate) | ||
| \(t\): vergangene Zeit seit \(t = 0\) | \(t\): vergangene Zeit seit \(t = 0\) | ||
| \(k\): Wachstumskonstante | \(k\): Abklingkonstante | ||
| Verdopplungszeit: \(T_V = \dfrac{\ln{2}}{k}\) | Halbwertszeit: \(T_H = -\dfrac{\ln{0{,}5}}{k}\) | ||
 |
 |
||
* Abnahmevorgänge werden auch als negatives Wachstum mit dem Wachstumsfaktor \(0 < a < 1\) bezeichnet.
Kontrollergebnis aus Teilaufgabe a: \(p \approx 0{,}35\,\%\)
\(\textcolor{#cc071e}{a^{25}} = \dfrac{346}{317}\) (vgl. Teilaufgabe a)
Mit dem Kontrollergebnis aus Teilaufgabe a:
\[\begin{align*}346 \cdot a^{25} &= 346 \cdot (1+p)^{25} \\[0.8em] &= 346 \cdot (1 + 0{,}0035)^{25} \\[0.8em] &= 346 + 1{,}0035^{25} \\[0.8em] &\approx 378\end{align*}\]
oder
\[\begin{align*}317 \cdot a^{50} &= 317 \cdot (1+p)^{50} \\[0.8em] &= 317 \cdot (1 + 0{,}0035)^{50} \\[0.8em] &= 317 + 1{,}0035^{50} \\[0.8em] &\approx 378\end{align*}\]
Mit dem exakten Ergebnis aus Teilaufgabe a:
\[346 \cdot \textcolor{#cc071e}{a^{25}} = 346 \cdot \frac{346}{317} \approx 378\]
oder
\[317 \cdot \textcolor{#cc071e}{a^{50}} = 317 \cdot \left(\textcolor{#cc071e}{a^{25}}\right)^2 = 317 \cdot \left( \frac{346}{317} \right)^2 \approx 378\]
Vergleich des errechneten Werts und des Tabellenwerts für 2010 im Sachzusammenhang
errechneter Wert: 378 ppm, Tabellenwert: 390 ppm
Der jährliche Durchschnittswert der Messwerte der CO₂-Konzentration für 2010 ist größer als der Wert, der sich unter der Annahme einer Fortsetzung des exponentiellen Wachstums ergibt.
