Geben Sie eine Gleichung von \(t_k\) an und beurteilen Sie folgende Aussage:
Es gibt einen Punkt, der für alle \(k \in \mathbb R \backslash \{9\}\) auf \(t_k\) liegt.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2d
Gleichung von \(t_k\)
Die Steigung von \(t_k\) ist mit \(\dfrac{k}{9}\) aus Teilaufgabe 2c bekannt. Da der Berührpunkt \((0|f_k(0))\) der Tangente \(t_k\) an \(G_k\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(f_k(0)\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Tangente.
\[t_k \colon y = \frac{k}{9}x + f_k(0)\]
\[f_k(\textcolor{#e9b509}{0}) = \frac{\textcolor{#e9b509}{0}^2-k}{\textcolor{#e9b509}{0}+3} = -\frac{k}{3}\]
\[\Rightarrow \; t_k \colon y = \frac{k}{9}x - \frac{k}{3}\]
Beurteilung der Aussage
Es gibt einen Punkt, der für alle \(k \in \mathbb R \backslash \{9\}\) auf \(t_k\) liegt.
Um zu überprüfen, ob es einen gemeinsamen Punkt aller Tangenten \(t_k\) gibt, eignet sich folgende Vorgehensweise:
- Der Parameter \(k\) der Tangentengleichung \(t_k\) wird einmal durch einen Parameter \(\textcolor{#cc071e}{m}\) und einmal durch einen Parameter \(\textcolor{#0087c1}{n}\) ersetzt, wobei \(\textcolor{#cc071e}{m} \neq \textcolor{#0087c1}{n}\) gilt. Die Parameter \(\textcolor{#cc071e}{m}\) und \(\textcolor{#0087c1}{n}\) repräsentieren zwei verschiedene Werte des Parameters \(k\).
- Mit \(t_{\textcolor{#cc071e}{m}}(x) = t_{\textcolor{#0087c1}{n}}(x)\) untersuchen, ob die Tangenten \(t_{\textcolor{#cc071e}{m}}\) und \(t_{\textcolor{#0087c1}{n}}\) für \(\textcolor{#cc071e}{m} \neq \textcolor{#0087c1}{n}\) einen gemeinsamen Punkt besitzen.
\(t_{\textcolor{#cc071e}{m}}\colon y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{m}}{9}x - \dfrac{\textcolor{#cc071e}{m}}{3}\) und \(t_{\textcolor{#0087c1}{n}}\colon y = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{n}}{9}x - \dfrac{\textcolor{#0087c1}{n}}{3}\) mit \(\textcolor{#cc071e}{m} \neq \textcolor{#0087c1}{n}\)
\[\begin{align*}\frac{\textcolor{#cc071e}{m}}{9}x - \frac{\textcolor{#cc071e}{m}}{3} &= \frac{\textcolor{#0087c1}{n}}{9}x - \frac{\textcolor{#0087c1}{n}}{3} &&| \cdot 9 \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{m}x - 3\textcolor{#cc071e}{m} &= \textcolor{#0087c1}{n}x - 3\textcolor{#0087c1}{n} &&| - \textcolor{#0087c1}{n}x + 3\textcolor{#cc071e}{m} \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{m}x - \textcolor{#0087c1}{n}x &= 3\textcolor{#cc071e}{m} - 3\textcolor{#0087c1}{n} \\[0.8em] x \cdot (\textcolor{#cc071e}{m} - \textcolor{#0087c1}{n}) &= 3 \cdot (\textcolor{#cc071e}{m} - \textcolor{#0087c1}{n}) &&| : (\textcolor{#cc071e}{m} - \textcolor{#0087c1}{n}) \; \text{wobei} \; \textcolor{#cc071e}{m} \neq \textcolor{#0087c1}{n}\; \text{gilt} \\[0.8em] x &= 3\end{align*}\]
\[t_k(3) = \frac{k}{9} \cdot 3 - \frac{k}{3} = \frac{k}{3}- \frac{k}{3} = 0\]
Die Aussage ist richtig. Alle Tangenten \(t_k\) verlaufen unabhängig vom Wert des Parameter \(k\) durch den Punkt \((3|0)\).
