Abiturlösungen Mathematik Bayern 2015

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Begründen Sie, dass die \(x\)-Achse horizontale Asymptote von \(G_{f}\) ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von \(G_{f}\) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion

 

\[f(x) = \frac{2}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{2}{x^{2} + 4x + 3}\,; \enspace D_{f} = \mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\]

(siehe Teilaufgabe 1a)

 

Begründung, dass die \(x\)-Achse horizontale Asymptote von \(G_{f}\) ist

 

1. Lösungsansatz: Grad des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms betrachten

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.

Senkrechte Asymptoten

Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)

\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)

gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\)

Waagrechte und schräge Asymptoten

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall

\(m < n\): die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote,
\(m = n\): eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{a_{m}}{b_{n}}\),
\(m = n + 1\): eine schräge Asymptote,
\(m > n + 1\): keine waagrechte oder schräge Asymptote.

Der Zählerterm der Funktion \(f\) ist eine Zahl. Der Grad \(z\) des „Zählerpolynoms" ist also Null (\(z = 0\)).

Den Nenner der gebrochenrationalen Funktion \(f\) beschreibt ein quadratischer Term. Der Grad \(n\) des Nennerpolynoms ist also Zwei (\(n = 2\)).

\(z < n \quad \Longrightarrow \quad\) Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist horizontale Asymptote von \(G_{f}\).

 

2. Lösungsansatz: Grenzwertbetrachtung, Verhalten im Unendlichen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.

Senkrechte Asymptoten

Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)

\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)

gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\)

Waagrechte und schräge Asymptoten

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall

\(m < n\): die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote,
\(m = n\): eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{a_{m}}{b_{n}}\),
\(m = n + 1\): eine schräge Asymptote,
\(m > n + 1\): keine waagrechte oder schräge Asymptote.

Eine waagrechte oder schräge Asymptote des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion beschreibt das Verhalten des Graphen im Unendlichen. Diese Asymptoten lassen sich folglich durch eine Grenzwertbetrachtung des Funktionsterms der gebrochenrationalen Funktion für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) ermitteln.

\[\begin{align*} \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} f(x) &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \; \frac{2}{x^{2} + 4x + 3} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \; \frac{2}{x^2 \cdot \big( 1 + \underset{\to \, 0}{\frac{4}{x}} + \underset{\to \, 0}{\frac{3}{x^{2}}} \big)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \; \frac{2}{x^{2}} = 0^{+} \end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist horizontale Asymptote von \(G_{f}\).

Die Grenzwertbetrachtung zeigt, dass sich \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) der \(x\)-Achse im Positiven (I./II. Quadrant) annähert.

 

Gleichungen der vertikalen Asymptoten von \(G_{f}\)

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.

Senkrechte Asymptoten

Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)

\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)

gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\)

Waagrechte und schräge Asymptoten

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall

\(m < n\): die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote,
\(m = n\): eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{a_{m}}{b_{n}}\),
\(m = n + 1\): eine schräge Asymptote,
\(m > n + 1\): keine waagrechte oder schräge Asymptote.

Am Funtionsterm \(\displaystyle f(x) = \frac{2}{(x + 1) (x + 3)}\) erkennt man, dass die Nullstellen des Nenners \(x = -1\) und \(x = -3\) nicht zugleich Nullstellen des Zählers sind. Somit hat die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = -1\) sowie an der Stelle \(x = -3\) eine nicht hebbare Definitionslücke bzw. eine Polstelle und die Geraden mit den Gleichungen \(x = -1\) und \(x = -3\) sind senkrechte Asymptoten des Graphen von \(f\).

 

Ergänzung: Verhalten von \(G_{f}\) an den Polstellen

\[f(x) = \frac{2}{(x + 1)(x + 3)}\]

Die Nullstellen des Nenners der Funktion \(f\) sind einfache Nullstellen. Demnach besitzt \(f\) für \(x = -1\) und \(x = -3\) jeweils eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

\[\lim \limits_{x \, \to \, -3^{-}} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -3^{-}} \; \frac{2}{(\underbrace{x + 1}_{\to \, -2})(\underbrace{x + 3}_{\to \, 0^{-}})} = + \infty\]

\[\lim \limits_{x \, \to \, -3^{+}} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -3^{+}} \; \frac{2}{(\underbrace{x + 1}_{\to \, -2})(\underbrace{x + 3}_{\to \, 0^{+}})} = - \infty\]

\(\Longrightarrow \quad x = -3\) ist Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

\[\lim \limits_{x \, \to \, -1^{-}} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -1^{-}} \; \frac{2}{(\underbrace{x + 1}_{\to \, 0^{-}})(\underbrace{x + 3}_{\to \, +2})} = - \infty\]

\[\lim \limits_{x \, \to \, -1^{+}} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -1^{+}} \; \frac{2}{(\underbrace{x + 1}_{\to \, 0^{+}})(\underbrace{x + 3}_{\to \, +2})} = + \infty\]

\(\Longrightarrow \quad x = -1\) ist Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

 

Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse

 

\[f(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3}\,; \enspace D_{f} = \mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\]

 

\[f(0) = \frac{1}{0 + 1} - \frac{1}{0 + 3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]

\(\Longrightarrow \quad S_{y} \big(0|\frac{2}{3}\big)\)