Begründen Sie rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sind.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Mathematische Beziehung rechnerisch widerlegen
\[B(x) = e^{-2x}; \; D_{B} = \mathbb R\]
\(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c)
\[P(x) = 1 - B(x) - F(x); \; D_{P} = \mathbb R\]
Zum Beobachtungsbeginn befindet sich ausschließlich der radioaktive Stoff Bi 211 im Gefäß.
\[\Longrightarrow \quad B(0) = 1 = 100\,\%\]
Da jeder Atomkern des Stoffs Bi 211 sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Tl 207 umwandelt und dieser sich wiederum irgendwann in einen Kern des Stoffs Pb 207 umwandelt, ist die Summe der Anteile an Bi 211-Kernen, Tl 207-Kernen und Pb 207-Kernen zu jedem Zeitpunkt gleich 100 %. Der Funktionsterm \(P(x)\) bestätigt dies.
\[P(x) = 1 - B(x) - F(x) \enspace \Longleftrightarrow \enspace B(x) + F(x) + P(x) = 1\]
Im Falle gleich großer Anteile der drei Kernsorten müsste gelten:
\[\left. \begin{align*} &B(x) + F(x) + P(x) = 1 \\[0.8em] &B(x) = F(x) = P(x) \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace B(x) = F(x) = P(x) = \frac{1}{3}\]
Gleichung \(B(x) = \frac{1}{3}\) lösen:
Die Exponetialgleichung lässt sich durch Logarithmieren lösen.
\[\begin{align*} B(x) &= \frac{1}{3} \\[0.8em] e^{-2x} &= \frac{1}{3} & &| \; \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln\left( e^{-2x} \right) &= \ln\left( \frac{1}{3} \right) & &| \; \ln\left( e^{x} \right) = x \; \left( \text{allg.:} \; \log_{a}\left( a^{x} \right) = x \right) \\[0.8em] -2x &= \ln{\left(\frac{1}{3}\right)} & &| \; \frac{1}{a^{n}} = a^{-n} \\[0.8em] -2x &= \ln{\left( 3^{-1} \right)} & &| \; \log_{a}\left( b^{n} \right) = n \cdot \log_{a}{b} \\[0.8em] -2x &= -\ln{3} & &| : (-2) \\[0.8em] x &= \frac{\ln{3}}{2} & &| n \cdot \log_{a}{b} = \log_{a}\left( a^{n} \right) \\[0.8em] x &= \ln\left( 3^{\frac{1}{2}} \right) & &| a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[n]{m} \\[0.8em] x &= \ln\left( \sqrt{3} \right) \end{align*}\]
Funktionswert \(F\big(\ln{\big( \sqrt{3} \big)} \big)\) berechnen:
\(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c)
\[F\left((\ln\left( \sqrt{3} \right)\right) = 2e^{-\ln\left( \sqrt{3}\right)} - 2e^{-2 \cdot \ln\left( \sqrt{3} \right)} \approx 0{,}49 \neq \frac{1}{3}\]
Alternative:
Man bestimmt mithilfe der Gleichung \(B(x) = F(x)\) den Zeitpunkt \(x_{0}\), zu dem der Anteil der beiden Kernsorten Bi 211 und Ti 207 gleich groß ist. Anschließend ist zu überprüfen, ob \(B(x_{0}) = F(x_{0}) = P(x_{0}) = \frac{1}{3}\) gilt.
\[B(x) = e^{-2x}; \; D_{B} = \mathbb R\]
\(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c)
Der Ansatz \(B(x) = F(x)\) liefert eine Exponentialgleichung, die sich nach elementaren Umformungen durch Logarithmieren lösen lässt.
\[\begin{align*}B(x) &= F(x) \\[0.8em] e^{-2x} &= 2e^{-x} - 2e^{-2x} & &| + 2e^{-2x} \\[0.8em] 3e^{-2x} &= 2e^{-x} & &| : e^{-2x} \\[0.8em] 3 &= 2 \cdot \frac{e^{-x}}{e^{-2x}} & &| \; \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\[0.8em] 3 &= e^{-x - (-2x)} \\[0.8em] 3 &= 2e^{x} & &| : 2 \\[0.8em] \frac{3}{2} &= e^{x} & &| \; \ln \; \text{(Logarithmieren) bzw.} \; a^{x} = b \; \Leftrightarrow \; x = \log_{a}{b} \\[0.8em] \ln\left( \frac{3}{2}\right) &= \ln(e^{x}) & &| \; \ln(e^{x}) = x \; \left(\text{allg.:} \; \log_{a}(a^{x}) = x \right) \\[0.8em] \ln\left( \frac{3}{2} \right) &= x \end{align*}\]
Zum Zeitpunkt \(x_{0} = \ln\left( \frac{3}{2}\right)\) (in der Einheit 6 Minuten, vgl. Angabe) ist der Anteil der beiden Kernsorten Bi 211 und Ti 207 gleich groß.
Funktionswert \(B(x_{0})\) berechnen:
\[B(x) = e^{-2x}; \; D_{B} = \mathbb R\]
\[x_{0} = \ln\left( \frac{3}{2} \right)\]
\[\begin{align*}B(x_{0}) &= e^{(-2) \cdot \ln\left( \frac{3}{2} \right)} & &| n \cdot \log_{a}{b} = \log_{a}(b^{n}) \\[0.8em] &= e^{\ln\left[\left( \frac{3}{2} \right)^{-2}\right]} & &| \; \ln(e^{x}) = x \; \left(\text{allg.:} \; \log_{a}(a^{x}) = x \right) \\[0.8em] &= \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\left( \frac{3}{2} \right)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\frac{9}{4}} \\[0.8em] &= \frac{4}{9}\end{align*}\]
Zum Zeitpunkt \(x_{0} = \ln\left( \frac{3}{2}\right)\) (in der Einheit 6 Minuten) beträgt der Anteil der beiden Kernsorten Bi 211 und Ti 207 jeweils \(\frac{4}{9}\) und der Anteil der Kernsorte Pb 207 demzufolge \(1 - 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{9}\).
\[\Longrightarrow \quad B(x_{0}) \neq \frac{1}{3}; \; F(x_{0}) \neq \frac{1}{3}; \; P(x_{0}) \neq \frac{1}{3}\]
Schlussfolgerung:
Zu keinem Zeitpunkt gilt \(B(x) = F(x) = P(x) = \frac{1}{3}\). Folglich sind die Anteile der drei Kernsorten zu keinem Zeitpunkt gleich groß.
