Um die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen einen nur in den Tropen auftretenden Pilz zu untersuchen, wurde ein Experiment mit 150 Pflanzen durchgeführt. Dabei wurden 70 % der Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend alle 150 Pflanzen mit den Sporen des tropischen Pilzes besprüht.

Am Ende des Experiments war die Anzahl der unbehandelten Pflanzen ohne Pilzbefall dreimal so groß wie die Anzahl \(x\) der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall. Insgesamt wurden 19 Pflanzen vom tropischen Pilz befallen.

Aus den 150 Pflanzen wird eine Pflanze zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(S\): „Die Pflanze wurde mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt."

\(T\): „Die Pflanze wurde vom tropischen Pilz befallen."

Bestimmen Sie \(\boldsymbol{x}\) unter Zuhilfenahme einer Vierfeldertafel.

(zur Kontrolle: \(x = 13\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

  \(S\) \(\overline{S}\)  
\(T\) \(\textcolor{#89ba17}{x}\) \(19 -x\) \(\textcolor{#89ba17}{19}\)
\(\overline{T}\) \(105 - x\) \(\textcolor{#89ba17}{3x}\) \(131\) 
  \(\textcolor{#89ba17}{105}\) \(45\) \(\textcolor{#89ba17}{150}\)

\[105 - x + 3x = 131 \enspace \Leftrightarrow \enspace 2x = 26 \enspace \Leftrightarrow \enspace x = 13\]

oder

\[19 - x + 3x = 45 \enspace \Leftrightarrow \enspace 2x = 26 \enspace \Leftrightarrow \enspace x = 13\]

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

\(S\): „Die Pflanze wurde mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt."

\(T\): „Die Pflanze wurde vom tropischen Pilz befallen."

 

„... wurde ein Experiment mit 150 Pflanzen durchgeführt."

\[\vert \Omega \vert = \textcolor{#89ba17}{150}\]

 

„Dabei wurden 70 % der Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt ..."

\[\vert S \vert = 0{,}7 \cdot 150 = \textcolor{#89ba17}{105}\]

 

„... Anzahl \(\textcolor{#89ba17}{x}\) der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall."

\[\vert S \cap T \vert = \textcolor{#89ba17}{x}\]

 

„... Anzahl der unbehandelten Pflanzen ohne Pilzbefall dreimal so groß wie die Anzahl \(\textcolor{#89ba17}{x}\) ..."

\[\vert \overline{S} \cap \overline{T} \vert = \textcolor{#89ba17}{3x}\]

 

„Insgesamt wurden 19 Pflanzen vom tropischen Pilz befallen."

\[\vert T \vert = \textcolor{#89ba17}{19}\]

 

  \(S\) \(\overline{S}\)  
\(T\) \(\textcolor{#89ba17}{x}\)   \(\textcolor{#89ba17}{19}\)
\(\overline{T}\)   \(\textcolor{#89ba17}{3x}\)  
  \(\textcolor{#89ba17}{105}\)   \(\textcolor{#89ba17}{150}\)

Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten mit den Eintragungen der gegebenen Werte

 

Durch zeilen- bzw. spaltenweise Subtraktion lässt sich die Vierfeldertafel wie folgt ergänzen:

  \(S\) \(\overline{S}\)  
\(T\) \(\textcolor{#89ba17}{x}\) \(19 -x\) \(\textcolor{#89ba17}{19}\)
\(\overline{T}\) \(105 - x\) \(\textcolor{#89ba17}{3x}\) \(131\) 
  \(\textcolor{#89ba17}{105}\) \(45\) \(\textcolor{#89ba17}{150}\)

 

Mithilfe der Zeile des Ereignisses \(\overline{T}\) oder der Spalte es Ereignisses \(\overline{S}\) kann nun die Anzahl \(x\) der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall bestimmt werden.

  \(S\) \(\overline{S}\)  
\(T\) \(\textcolor{#89ba17}{x}\) \(19 -x\) \(\textcolor{#89ba17}{19}\)
\(\overline{T}\) \(105 - x\) \(\textcolor{#89ba17}{3x}\) \(131\)
  \(\textcolor{#89ba17}{105}\) \(45\) \(\textcolor{#89ba17}{150}\)

 

\[\begin{align*} \vert S \cap \overline{T} \vert + \vert \overline{S} \cap \overline{T} \vert &= \vert \overline{T} \vert \\[0.8em] 105 - x + 3x &= 131 &&| -105 \\[0.8em] 2x &= 26 &&| : 2 \\[0.8em] x &= 13 \end{align*}\]

oder

\[\begin{align*}\vert \overline{S} \cap T \vert + \vert \overline{S} \cap \overline{T} \vert &= \vert \overline{S} \vert \\[0.8em]19 - x + 3x &= 45 &&| -19 \\[0.8em] 2x &= 26 &&| : 2 \\[0.8em] x &= 13\end{align*}\]