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          • Teilaufgabe a
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        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 3b
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          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2019
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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        • Analysis 2
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          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1c
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        • Geometrie 1
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          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2018
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
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          • Teilaufgabe 5a
          • Teilaufgabe 5b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
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          • Teilaufgabe 4b
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          • Teilaufgabe 2b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2017
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 3b
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        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1e
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe 2e
        • Analysis 2
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
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        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Abitur Bayern 2016
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 5b
          • Teilaufgabe 5c
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          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
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          • Teilaufgabe 4
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Stochastik 2
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          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 1h
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        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe 3d
          • Teilaufgabe 3e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
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          • Teilaufgabe f
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
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    • Mathematik Abitur Bayern 2015
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 5a
          • Teilaufgabe 5b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
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          • Teilaufgabe 3b
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        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
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          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
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        • Stochastik 1
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          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
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          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
    • Mathematik Abitur Bayern 2014
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
          • Teilaufgabe 5a
          • Teilaufgabe 5b
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
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          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
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          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 1g
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
          • Teilaufgabe f
    • Mathematik Beispiel-Abitur Bayern 2014
      • Prüfungsteil A
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
          • Teilaufgabe 5
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2
      • Prüfungsteil B
        • Prüfungsangabe
        • Analysis 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
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          • Teilaufgabe 2g
        • Analysis 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 1g
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
        • Stochastik 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
        • Stochastik 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
        • Geometrie 1
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
        • Geometrie 2
          • Teilaufgabe a
          • Teilaufgabe b
          • Teilaufgabe c
          • Teilaufgabe d
          • Teilaufgabe e
    • Mathematik Abitur Bayern 2013
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 2c
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
        • Teilaufgabe h
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 1d
        • Teilaufgabe 1e
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 2c
    • Mathematik Abitur Bayern 2012
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 2d
          • Teilaufgabe 2e
          • Teilaufgabe 2f
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 1f
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
        • Teilaufgabe 3d
        • Teilaufgabe 3e
        • Teilaufgabe 3f
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 2
        • Teilaufgabe 3
        • Teilaufgabe 4a
        • Teilaufgabe 4b
        • Teilaufgabe 4c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
        • Teilaufgabe g
    • Mathematik Abitur Bayern 2011 G8
      • Prüfungsangabe
      • Analysis I
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3
          • Teilaufgabe 4a
          • Teilaufgabe 4b
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 1d
          • Teilaufgabe 1e
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
      • Analysis II
        • Teil 1
          • Teilaufgabe 1
          • Teilaufgabe 2
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
          • Teilaufgabe 3c
          • Teilaufgabe 4
        • Teil 2
          • Teilaufgabe 1a
          • Teilaufgabe 1b
          • Teilaufgabe 1c
          • Teilaufgabe 2a
          • Teilaufgabe 2b
          • Teilaufgabe 2c
          • Teilaufgabe 3a
          • Teilaufgabe 3b
      • Stochastik I
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3
        • Teilaufgabe 4
      • Stochastik II
        • Teilaufgabe 1a
        • Teilaufgabe 1b
        • Teilaufgabe 1c
        • Teilaufgabe 2a
        • Teilaufgabe 2b
        • Teilaufgabe 3a
        • Teilaufgabe 3b
        • Teilaufgabe 3c
      • Geometrie I
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
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        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
      • Geometrie II
        • Teilaufgabe a
        • Teilaufgabe b
        • Teilaufgabe c
        • Teilaufgabe d
        • Teilaufgabe e
        • Teilaufgabe f
  • Abiturskript
    • Abiturskript G9 (PDF)
      • Bestellstatus/Download-Link
    • Abiturskript G8 (Online)
      • 1 Analysis
        • 1.1 Elementare Funktionen und Ihre Eigenschaften
          • 1.1.1 Lineare Funktion
          • 1.1.2 Quadratische Funktion
          • 1.1.3 Ganzrationale Funktion
          • 1.1.4 Wurzelfunktion
          • 1.1.5 Betragsfunktion
          • 1.1.6 Trigonometrische Funktionen
          • 1.1.7 Entwicklung von Funktionen
          • 1.1.8 Schnittstellen mit den Koordinatenachsen
          • 1.1.9 Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)
        • 1.2 Gebrochenrationale Funktion
          • 1.2.1 Nullstellen und Polstellen
          • 1.2.2 Grenzwerte und Asymptoten
        • 1.3 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion
          • 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln
          • 1.3.2 Exponentielles Wachstum und exponentielles Abklingen
          • 1.3.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen
        • 1.4 Grenzwerte
        • 1.5 Differentialrechnung
          • 1.5.1 Die Ableitung
          • 1.5.2 Ableitungsregeln
          • 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte
          • 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte
          • 1.5.5 Newton-Verfahren
          • 1.5.6 Umkehrfunktion
          • 1.5.7 Extremwertaufgaben
          • 1.5.8 Funktionsbestimmungen
          • 1.5.9 Tangenten zweier Funktionsgraphen
        • 1.6 Integralrechnung
          • 1.6.1 Stammfunktion
          • 1.6.2 Unbestimmtes Integral
          • 1.6.3 Bestimmtes Integral
          • 1.6.4 Flächenberechnung
          • 1.6.5 Uneigentliches Integral
          • 1.6.6 Integralfunktion
        • 1.7 Funktionenscharen
          • 1.7.1 Funktionenscharen - Einführende Beispiele
          • 1.7.2 Nullstellen einer Funktionenschar
          • 1.7.3 Graph einer Scharfunktion durch einen Punkt
          • 1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung
          • 1.7.5 Extrem- / Wendepunkte einer Kurvenschar
          • 1.7.6 Ortslinie / Trägergraph einer Funktionenschar
          • 1.7.7 Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar
      • 2 Geometrie
        • 2.1 Vektoren
          • 2.1.1 Rechnen mit Vektoren
          • 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
          • 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren
          • 2.1.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
          • 2.1.5 Spatprodukt
          • 2.1.6 Nachweis von Vierecken
        • 2.2 Geraden und Ebenen im Raum
          • 2.2.1 Geradengleichung in Parameterform
          • 2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform
          • 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform
          • 2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform
        • 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
          • 2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
          • 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene
          • 2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen
          • 2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen
          • 2.3.5 Winkelhalbierende Gerade und Ebene
        • 2.4 Abstandsbestimmungen
          • 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade
          • 2.4.2 Abstand paralleler Geraden
          • 2.4.3 Abstand windschiefer Geraden
          • 2.4.4 Abstand Punkt - Ebene
          • 2.4.5 Abstand Gerade - Ebene
          • 2.4.6 Abstand paralleler Ebenen
        • 2.5 Schnittwinkelberechnungen
          • 2.5.1 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
          • 2.5.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
          • 2.5.3 Schnittwinkel zweier Ebenen
        • 2.6 Spiegelung von Punkten
          • 2.6.1 Spiegelung eines Punktes an einem Punkt
          • 2.6.2 Spiegelung eines Punktes an einer Geraden
          • 2.6.3 Spiegelung eines Punktes an einer Ebene
        • 2.7 Die Kugel
          • 2.7.1 Kugelgleichung
          • 2.7.2 Lagebeziehung Punkt - Kugel
          • 2.7.3 Lagebeziehung Gerade - Kugel
          • 2.7.4 Lagebeziehung Ebene - Kugel
          • 2.7.5 Lagebeziehung zweier Kugeln
      • 3 Stochastik
        • 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
          • 3.1.1 Ereignisse
          • 3.1.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff
          • 3.1.3 Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit
          • 3.1.4 Baumdiagramm und Vierfeldertafel
          • 3.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit
          • 3.1.6 Unabhängigkeit von Ereignissen
        • 3.2 Urnenmodelle
          • 3.2.1 Grundformeln der Kombinatorik
          • 3.2.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
        • 3.3 Zufallsgrößen
          • 3.3.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße
          • 3.3.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
          • 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße
        • 3.4 Beurteilende Statistik
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          • 3.4.2 Signifikanztest
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Prüfungsangabe Mathematik Abiturprüfung Bayern 2020 - Prüfungsteil B

Teilaufgabe 1a

Details
Kategorie: Analysis 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 + 7e^{-0{,}2x}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R_{0}^{+}\); die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\).

Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\) ist.
Zeigen Sie rechnerisch, dass \(f\) streng monoton abnehmend ist.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(3 BE)

  • Kettenregel
  • Monotoniekriterium
  • Verhalten im Unendlichen
  • Grenzwertbetrachtung
  • Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
  • Natürliche Exponentialfunktion
  • Prüfungsteil B
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  • Ableitungsfunktion
  • Mathematik Abitur Bayern 2020

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Details
Kategorie: Analysis 2

Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest.

Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein.
Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist, und geben Sie diesen Wert von \(s\) an.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(zur Kontrolle: \(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\))

(7 BE)

  • Kettenregel
  • Produktregel
  • Ableitung einer Potenzfunktion
  • Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
  • Extremwertaufgabe
  • Rechteck
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Ableitungsregeln
  • Faktorregel
  • Ableitungsfunktion
  • Vorzeichentabelle
  • Mathematik Abitur Bayern 2020

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Details
Kategorie: Analysis 2

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_{f}\), der \(y\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu \(s = 5\) gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.

(7 BE)

  • Stammfunktion
  • Bestimmtes Integral
  • wichtige unbestimmte Integrale
  • Flächeninhaltsberechnung durch Integration
  • Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Mathematik Abitur Bayern 2020

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Details
Kategorie: Analysis 2

Die in \(\mathbb R_{0}^{+}\) definierte Funktion \(A \colon x \mapsto \dfrac{8}{f(x)}\) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Südufer eines Sees. Dabei ist \(x\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Tagen und \(A(x)\) der Flächeninhalt in Quadratmetern.

Bestimmen Sie \(A(0)\) sowie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} A(x)\) und geben Sie jeweils die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an. Begründen Sie mithilfe des Monotonieverhaltens der Funktion \(\mathbf{f}\), dass der Flächeninhalt des Algenteppichs im Laufe der Zeit ständig zunimmt.

(5 BE)

  • Verhalten im Unendlichen
  • Grenzwertbetrachtung
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Mathematik Abitur Bayern 2020

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Details
Kategorie: Analysis 2

Bestimmen Sie denjenigen Wert \(x_{0}\), für den \(A(x_{0}) = 4\) gilt, und interpretieren sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang. 

(4 BE)

  • Logarithmieren
  • Exponentialgleichung
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Mathematik Abitur Bayern 2020

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Details
Kategorie: Analysis 2

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn.

(4 BE)

  • Kettenregel
  • Quotientenregel
  • Ableitung einer Potenzfunktion
  • Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • momentane Änderungsrate
  • Ableitungsfunktion
  • Mathematik Abitur Bayern 2020

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Details
Kategorie: Analysis 2

Nur zu dem Zeitpunkt, der im Modell durch \(x_{0}\) (vgl. Aufgabe 2b) beschrieben wird, nimmt die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs ihren größten Wert an. Geben Sie eine besondere Eigenschaft des Graphen von \(A\) im Punkt \((x_{0}|A(x_{0}))\) an, die sich daraus folgern lässt, und begründen Sie Ihre Angabe.

(2 BE)

  • Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen
  • Wendepunkt
  • Maximale Änderungsrate
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • momentane Änderungsrate
  • Graph einer Ableitungsfunktion
  • Mathematik Abitur Bayern 2020

Lösung zu Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Details
Kategorie: Analysis 2

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion \(A\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2.

Abbildung 2 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(3 BE)

  • Monotonieverhalten
  • Wendepunkt
  • Verhalten im Unendlichen
  • Skizzieren / Zeichnen von Funktionsgraphen
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • Mathematik Abitur Bayern 2020

Lösung zu Teilaufgabe 2e

Teilaufgabe 2f

Details
Kategorie: Analysis 2

Um die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Nordufer des Sees zu beschreiben, wird im Term \(A(x)\) die im Exponenten zur Basis e enthaltene Zahl -0,2 durch eine kleinere Zahl ersetzt.

Vergleichen Sie den Algenteppich am Nordufer mit dem am Südufer

● hinsichtlich der durch \(A(0)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} A(x)\) beschriebenen Eigenschaften (vgl. Aufgabe 2a).

● hinsichtlich der momentanen Änderungsrate des Flächeninhalts zu Beobachtungsbeginn (vgl. Aufgabe 2c).

Skizzieren Sie - ausgehend von diesem Vergleich - in der Abbildung 2 den Graphen einer Funktion, die eine mögliche zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts des Algenteppichs am Nordufer beschreibt.

(5 BE)

  • Verhalten im Unendlichen
  • Grenzwertbetrachtung
  • Skizzieren / Zeichnen von Funktionsgraphen
  • Prüfungsteil B
  • Analysis 2
  • momentane Änderungsrate
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Lösung zu Teilaufgabe 2f

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