Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten.

Abbildung Aufgabe a Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 B

Begründen Sie, dass \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist. Geben Sie die Gleichung der senkrechten Asymptote von \(G_{f}\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

\[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

Begründung, dass \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist

Die Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion \(f\) ist die Nullstelle des Zählers \(4x\), die nicht zugleich Nullstelle des Nenners sein darf.

Nullstellen einer Funktion bestimmen

Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen

Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).

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Produkt von Funktionen

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)

Quotient von Funktionen

Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)

Quadratische Funktion

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)

 

\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]

 

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

 

Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]

Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)

Ganzrationale Funktion

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3

vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen

Gebrochenrationale Funktion

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen der Zählerfunktion \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen der Nennerfunktion \(\boldsymbol{n(x)}\) sind .

Ist \(x_0\) eine Nullstelle der Zählerfunktion \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine Nullstelle der Nennerfunktion \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochnrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.

(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)

Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.

Sinus- und Kosinusfunktion

\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

Nullstellen der Sinusfunktion x ↦ sin x und der Kosinusfunktion x ↦ cos x

Natürliche Logarithmusfunktion

Nullstelle x = 1 der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).

\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]

Natürliche Exponentialfunktion

Graph der natürlichen Exponentialfunktion x → eˣ

Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!

\[f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 0\]

 

Somit ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\), da diese nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

 

Anmerkung:

Ist \(x_0\) eine Nullstelle der Zählerfunktion \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine Nullstelle der Nennerfunktion \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt eine gebrochnrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{z(x)}{n(x)}\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.

(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)

 

Gleichung der senkrechten Asymptote von \(G_{f}\)

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.

Senkrechte Asymptoten

Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)

\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)

gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).

Waagrechte und schräge Asymptoten

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall

\(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote,
\(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\),
\(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): eine schräge Asymptote,
\(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): keine waagrechte oder schräge Asymptote.

Senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = -1\)

 

Anmerkung:

Der Definitionsbereich \(D_{f}\) schließt die Nennernullstelle \(x = -1\) aus. Da diese nicht zugleich eine Zählernullstelle ist, ist \(x = -1\) eine Polstelle, an der \(G_{f}\) eine senkrechte Asymptote hat.

 

Begründung, dass \(G_{f}\) die waagrechte Asymptote \(y = 0\) besitzt

 

1.Möglichkeit: Zähler- und Nennergrad betrachten

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.

Senkrechte Asymptoten

Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)

\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)

gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).

Waagrechte und schräge Asymptoten

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall

\(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote,
\(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\),
\(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): eine schräge Asymptote,
\(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): keine waagrechte oder schräge Asymptote.

\[f(x) = \frac{\overbrace{4x}^{\large{\text{Grad 1}}}}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{\text{Grad 2}}}}\]

 

Der Grad des Zählers (Zählerpolynoms) ist kleiner als der Grad des Nenners (Nennerpolynoms). Deshalb ist die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) (\(x\)-Achse) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\).

 

2. Möglichkeit: Grenzwertbtrachtung für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\)

Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung wird die höchste Potenz des Nenners im Zähler und Nenner ausgeklammert und gekürzt.

 

\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{4x}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{(a\,+\,b)^{2}}}} &&| \; \text{1. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{4x}{\underbrace{x^{2} + 2x + 1}_{\large{a^{2}\,+\,2ab\,+\,b^{2}}}} &&| \; x^{2} \; \text{ausklammern und kürzen} \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} \right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\overbrace{\frac{4}{x}}^{\to\,0}}{1 + \underbrace{\frac{2}{x}}_{\to\,0} + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to\,0}} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

analog:

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\overbrace{\frac{4}{x}}^{\to\,0}}{1 + \underbrace{\frac{2}{x}}_{\to\,0} + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to\,0}} = 0\]

 

Also besitzt \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) als waagrechte Asymptote.