Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion \(F\) von \(f\) und für jede reelle Zahl \(w > 2022\) gilt

\[F(w) - F(0) \approx \int_0^{2022} f(x)dx\]

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse sowie der Gerade mit der Gleichung x = 2022 bzw. x = w einschließt 

Skizze schematisch (nicht verlangt): Das bestimmte Integral \(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\int_0^{2022}f(x)dx}\) lässt sich geometrisch als Flächeninhalt des Flächenstücks interpretieren, das \(G_f\), die \(x\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{x = 2022}\) einschließen (vgl. Abiturskript - 1.6.3 Bestimmtes Integral).

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

Somit lautet eine geometrische Interpretation des Sachverhalts

\( \displaystyle \textcolor{#0087c1}{F(w) - F(0)} \approx \textcolor{#cc071e}{\int_0^{2022} f(x)dx} \enspace \Leftrightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{\int_0^w f(x)dx} \approx \textcolor{#cc071e}{\int_0^{2022} f(x)dx}\) mit \(w > 2022\)

beispielsweise wie folgt:

Der Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_f\), die \(x\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{x = w}\) mit \(w > 2022\) einschließen, ist näherungsweise gleich dem Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_f\), die \(x\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{x = 2022}\) einschließen.