Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) und \(x \in \mathbb R\).
Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 5a
Wendepunkt ermitteln
\[f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\,; \enspace x \in \mathbb R\]
Nachweis des Wendepunkt des Graphen von \(f\)
Anwendung der Differetialrechnung:
Wendepunkt
Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Alternative:
Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.
Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt:
\(f''(x) \overset{!}{=} 0\)
Zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) bilden:
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\]
\[f'(x) = 3x^{2} - 12x + 11\]
\[f''(x) = 6x - 12\]
\[\begin{align*} f''(x) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad 6x - 12 &= 0 & &| + 12 \\[0.8em] 6x &= 12 & &| : 6 \\[0.8em] x &= 2 \end{align*}\]
Vorzeichenwechsel von \(f''\) an der Stelle \(x = 2\):
Anwendung der Differetialrechnung:
Wendepunkt
Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Alternative:
Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.
\[f''(x) = 6x - 12\]
\[\left. \begin{align*} &f''(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x < 2 \\ &f''(2) = 0 \\ &f''(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x > 2 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Wendepunkt}, \; WP \, (2|f(2))\]
\[\begin{align*} f(2) &= 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 11 \cdot 2 - 6 \\[0.8em] &= 8 - 24 + 22 - 6 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad WP\,(2|0)\]
Nachweis, dass der Wendepunkt auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt
\[y = x - 2\,; \quad WP\,(2|0)\]
Die Koordinaten des Wendepunkts werden in die Geradengleichung eingesetzt. Ergibt sich eine wahre Aussage, liegt der Wendepunkt auf der Geraden.
\[0 = 2 - 2 \quad (\text{w})\]
\(\Longrightarrow \quad\) Der Wendepunkt \(WP\) liegt auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\).
