Aufgrund der hohen Anschaffungskosten wurde für jedes vierte im Jahr 2020 verkaufte Pedelec eine Versicherung abgeschlossen. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Anzahl der Pedelecs unter den 200 zufällig ausgewählten Fahrrädern, für die eine Versicherung abgeschlossen wurde.
Berechnen Sie \(P(Y = 0)\).
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3c
Zufallsgröße \(Y\): Anzahl der Pedelecs unter den 200 zufällig ausgewählten Fahrrädern, für die eine Versicherung abgeschlossen wurde.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Pedelec auszuwählen ist \(0{,}4\) (vgl. Teilaufgabe 3a). Jedes vierte Pedelec ist versichert. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, ein versichertes Pedelec auszuwählen \(\textcolor{#cc071e}{p} = \frac{1}{4} \cdot 0{,}4 = \textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) (Trefferwahrscheinlichkeit).
Die Zufallsgröße \(Y\) ist binomialverteilt nach \(B(\textcolor{#0087c1}{200}; \textcolor{#cc071e}{0{,}1})\).
Binomialverteilte Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße \(X\), die bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0;1;\dots;n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer \(B(n;p)\)-verteilten Zufallsgröße \(X\) heißt Binomialverteilung.
Es gilt: \(\displaystyle P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}\) mit \(k = \{0;1;\dots;n\}\) (Bernoulli-Formel)*
Kumulative Verteilungsfunktion einer \(\boldsymbol{B(n;p)}\)-verteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(F_p^n(k) = P_p^n(X \leq k) = \sum \limits_{i\,=\,0}^k B(n;p;i)\) (von \(X = 0\) bis \(X = k\) aufsummierte Einzelwahrscheinlichkeiten \(B(n;p;i)\))*
* Kann mit dem wissenschaftlichen Taschenrechner (WTR) oder ggf. mit dem Tafelwerk (TW) bestimmt werden.
\[\begin{align*}P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}1}}^{\textcolor{#0087c1}{200}}(\textcolor{#e9b509}{Y = 0}) &= \binom{\textcolor{#0087c1}{200}}{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1}^{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}1})^{\textcolor{#0087c1}{200}\, -\, \textcolor{#e9b509}{0}} \\[0.8em] &= 0{,}9^{200} \approx 7{,}1 \cdot 10^{-10}\end{align*}\]
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.5 Binomialverteilung)
