Auf der Geraden \(t\) wird nun der Punkt \(M\) so festgelegt, dass der Abstand der Dachgaube vom First 1 m beträgt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(M\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe d
Der Abstand der Dachgaube vom First entspricht dem Abstand des Punktes \(M\) von der Geraden \(HG\). Da die Gerade \(t\) mit \(M \in t\) parallel zur Geraden \(HC\) verläuft (siehe Teilaufgabe c) gilt:
\[d\,(M;HG) = d\,(M;T) = 1\]
1. Lösungsansatz: Vektoraddition, Einheitsvektor \(\overrightarrow{v}^{0}_{t}\) bzw. \(\overrightarrow{HC}^{\,0}\)
Einheitsvektor (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a}^0 = \frac{\overrightarrow{a}}{\vert \overrightarrow{a} \vert}\]
Vektoren mit der Länge 1 heißen Einheitsvektoren.
\(\overrightarrow{v}_{t} = \overrightarrow{HC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe c)
\[\overrightarrow{M} = \overrightarrow{T} + \overrightarrow{v}^{0}_{t} = \overrightarrow{T} + \overrightarrow{HC}^{\,0}\]
Einheitsvektor \(\overrightarrow{v}^{0}_{t}\) bzw. \(\overrightarrow{HC}^{\,0}\) berechnen:
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \overrightarrow{v}^{0}_{t} = \overrightarrow{HC}^{0} &= \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}}{\sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2}} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}}{\sqrt{25}} \\[0.8em] &= \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 0 \\ -0{,}6 \end{pmatrix} \end{align*}\]
Koordinaten von \(M\) berechnen:
\(T\,(4|8|8)\) (siehe Teilaufgabe c)
\[\overrightarrow{M} = \overrightarrow{T} + \overrightarrow{v}^{0}_{t} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 0 \\ -0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4{,}8 \\ 8 \\ 7{,}4 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad M\,(4{,}8|8|7{,}4)\]
2. Lösungsansatz: Länge einer Strecke, \(\overline{TM} = 1\)
\(T\,(4|8|8)\,, \enspace t\,\colon\, \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix};\;\) (siehe Teilaufgabe c)
\[M \in t\]
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \overline{TM} &= 1 \\[0.8em] \vert \overrightarrow{TM} \vert &= 1 \\[0.8em] \vert \overrightarrow{M} - \overrightarrow{T} \vert &= 1 & &| M \in t \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 4 + 4\lambda \\ 8 \\ 8 - 3\lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} \right| &= 1 \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 4\lambda \\ 0 \\ -3\lambda \end{pmatrix} \right| &= 1 \\[0.8em] \sqrt{(4\lambda)^2 + 0^2 + (-3\lambda)^2} &= 1 \\[0.8em] \sqrt{16{\lambda}^2 + 9{\lambda}^2} &= 1 \\[0.8em] \sqrt{25{\lambda}^2} &= 1 \\[0.8em] 5\lambda &= \pm 1 & &| : 5 \\[0.8em] \lambda &= \pm \frac{1}{5} \end{align*}\]
\[M \in t\,\colon\, \overrightarrow{M_{1,2}} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} \pm \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{M_{1}} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} + \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4{,}8 \\ 8 \\ 7{,}4 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad M_{1}\,(4{,}8|8|7{,}4)\]
\[\overrightarrow{M_{2}} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} - \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 8 \\ 8{,}6 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad M_{2}\,(3{,}2|8|8{,}6)\]
Die Abbildung zur Aufgabengruppe zeigt, dass die \(x_{3}\)-Koordinate des Punktes \(M\) kleiner sein muss als die \(x_{3}\)-Koordinate des Punktes \(T\). Somit kommt nur \(M_{1}\) in Betracht.
