Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{e^{x}}{e^{x} + 1}\). Ihr Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.
Zeigen Sie, dass \(g\) streng monoton zunehmen ist und die Wertemenge \(]0;1[\) besitzt.
(zur Kontrolle: \(g'(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}\))
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\[g(x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}; \; D_{g} = \mathbb R\]
Nachweis, dass \(g\) streng monoton zunehmend ist
Der Nachweis erfolgt mithilfe des Monotoniekriteriums (vgl. Merkhilfe).
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Erste Ableitung \(f'\) bilden:
Es wird die Quotientenregel sowie die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion benötigt.
\[g(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{e^{x}}}{\textcolor{#cc071e}{e^{x} + 1}}\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{e^{x}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(e^{x} + 1)} - \textcolor{#0087c1}{e^{x}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(e^{x} + 0)}}{(\textcolor{#cc071e}{e^{x} + 1})^{2}} &&| \; a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}\;\text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= \frac{e^{2x} + e^{x} - e^{2x}}{(e^{x} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{\textcolor{#e9b509}{\overbrace{e^{x}}^{>\,0}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{(e^{x} + 1)^{2}}_{>\,0}}} \end{align*}\]
\(\Rightarrow \enspace f'(x) \textcolor{#e9b509}{>} 0\) für alle \(x \in \mathbb R\)
\(\Rightarrow \enspace g\) ist in \(\mathbb R\) streng monoton zunehmend.
Nachweis, dass \(g\) die Wertemenge \(]0;1[\) besitzt
Überlegung:
Die Wertemenge einer Funktion kann durch das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs und/oder die Existenz absoluter Extrema eingeschränkt sein.
Da \(g\) streng monoton zunehmend ist, kann es keine absoluten Extrema geben. Der Wertebereich der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\) wird somit durch das Verhalten für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) bestimmt.
\[g(x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}; \; D_{g} = \mathbb R = \; ]-\infty;+\infty[\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} g(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty}\frac{\textcolor{#e9b509}{\overbrace{e^{x}}^{\to\,0}}}{\underbrace{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{e^{x}}_{\to\,0}} + 1}_{\to\,1}} = 0\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} g(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\frac{\textcolor{#e9b509}{\overbrace{e^{x}}^{\to\,+\infty}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{e^{x}}_{\to\,+\infty}} + 1} = 1\]
Für \(x \to +\infty\) nimmt der Zähler und der Nenner von \(g(x)\) nahezu den gleichen Wert an. Der Summand 1 im Nenner von \(g(x)\) ist dann zu vernachlässigen, sodass sich der Bruch dem Wert 1 nähert.
Alternative Formulierung der Grenzwertbetrachtung für \(x \to +\infty\):
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} g(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} &&| \; e^{x} \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\cancel{e^{x}} \cdot 1}{\cancel{e^{x}} \cdot \big( 1 + \textcolor{#e9b509}{\underbrace{\frac{1}{e^{x}}}_{\to\,0}} \big)} \\[0.8em] &= 1\end{align*}\]
Mit \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}g(x) = 0\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}g(x) = 1\) besitzt der Graph der Funktion \(g\) die \(x\)-Achse \((y = 0)\) und die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als waagrechte Asymptote.
Da \(g\) zudem in \(\mathbb R\) streng monoton zunehmend ist, hat \(g\) die Wertemenge \(]0;1[\).
