Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2}g(x)dx\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\[g(x) = \frac{1}{x^2} - 1; \; D_g = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*} \int_{\frac{1}{2}}^{2}g(x)dx &= \int_{\frac{1}{2}}^{2}\Big( \frac{1}{x^2} -1\Big)dx &&| \; \frac{1}{a^n} = a^{-n} \\[0.8em] &= \int_{\frac{1}{2}}^{2} (\textcolor{#e9b509}{x^{-2} - 1})dx &&| \; \int \textcolor{#e9b509}{x^r} dx = \textcolor{#e9b509}{\frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C} \;(r \neq -1) \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= \big[ \textcolor{#e9b509}{\underbrace{-x^{-1} - x}_{\text{Stammfunktion}}} \big]_{\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2}}}^{\textcolor{#0087c1}{2}} &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\; \text{(optional)} \\[0.8em] &= \left[ -\frac{1}{x} - x \right]_{\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2}}}^{\textcolor{#0087c1}{2}} \\[0.8em] &= -\frac{1}{\textcolor{#0087c1}{2}} - \textcolor{#0087c1}{2} - \left( -\frac{1}{\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2}}} - \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2}} \right) \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} - 2 + 2 + \frac{1}{2} \\[0.8em] &= 0\end{align*}\]
